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행렬 (行列, matrix) 은 나 문자, 수식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것으로, 선형 변환을 나타내는 데에 주로 사용됩니다.

역사

고대 중국에서는 현대의 행렬과 유사하게 미지수의 계수를 산판 위에 대나무 가지로 표시해서 연립 일차 방정식을 풀었습니다. 이때부터 행과 열을 더하거나 빼는 원리가 있었다고 할 수 있습니다. 이후 1683년에 일본의 수학자 세키 다카카즈 (關孝和) 의 『解伏題之法』 (해복제지법) 에서 행렬식과 함께 이를 응용하는 방법이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

1693년, 독일의 수학자 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 세 개의 미지수로 이루어진 세 개의 연립 일차 방정식의 해를 구하는 과정에서 행렬식을 형식적으로 정의했습니다. 1750년에는 스위스의 수학자 가브리엘 크래머n 개의 미지수가 있는 n 개의 연립 일차 방정식을 푸는 일반적인 방법을 소개했습니다.

1771년, 프랑스의 수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드가 처음으로 행렬식을 연립 일차 방정식을 풀기 위한 수단이 아닌 독립적인 함수로 여기면서 행렬식의 여러 가지 성질을 언급하며 라이프니츠의 제안보다 더욱 적절한 표기법을 고안했습니다. 그렇기 때문에 방데르몽드를 실질적으로 행렬식 이론을 형식적으로 정립한 사람으로 볼 수 있습니다.

1772년, 프랑스의 수학자 피에르-시몽 라플라스가 소행렬식을 사용해서 행렬식을 전개하는 일반적인 방법을 발견했으며, 1773년에는 수학자 조제프-루이 라그랑주가 이차와 삼차 행렬식을 다루면서 연립 방정식을 푸는 것 이외에도 행렬식을 사용할 수 있음을 보였습니다.

1801년, 독일의 수학자 요한 카를 프리드리히 가우스가 자신의 정수론에서 행렬식을 사용하면서 행렬식의 역수라는 개념을 도입하였고, 곱셈 정리에 아주 가까운 방법을 제시했습니다. 1812년에는 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 그 당시에 알려져 있던 행렬식의 내용을 정리하면서 처음으로 행렬식이라는 용어를 사용했습니다. 그는 행렬식 이론을 현대 수학의 독립적인 분야로 여겼습니다. 또한 행렬식에서 중요한 사람 중에는 독일의 수학자 카를 구스타프 야코프 야코비가 있는데, 그에 의해 행렬식이라는 용어와 개념이 완전히 받아들여지게 되었기 때문입니다.

행렬의 대수적인 성질을 완전히 이해하고 그 중요성을 처음 알아본 사람은 1855년에 행렬의 필수적인 요소들에 대해 발표한 영국의 수학자 아서 케일리가 있습니다. 그는 영국의 수학자 제임스 조지프 실베스터아일랜드의 수학자 윌리엄 로언 해밀턴과 함께 행렬 이론을 창시한 사람으로 여겨지고 있습니다.

정의

행렬은 수, 문자, 수식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것입니다. 예컨대

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

는 행렬이라고 말할 수 있습니다.

행렬의 가로줄을 이라고 하고, 세로줄을 이라고 합니다. 그리고 위에서부터 차례로
1행, 2행, 3행, … n행
이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로
1열, 2열, 3열, … n열
이라고 합니다. 예컨대

\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}

의 경우 2개의 행과 2개의 열로 구성된 행렬이며, 2×2 행렬 또는 2차 정사각행렬이라고 합니다.

연산

상등

두 행렬이 있을 때, 두 행렬의 행과 열의 개수가 서로 같으며 대응되는 모든 성분들이 같다면 두 행렬을 같다고 말할 수 있으며, 이것을 상등이라고 합니다.

덧셈 / 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈 연산은 곱셈에 비해 굉장히 직관적으로 보입니다. 행렬의 덧셈과 뺄셈은 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬, 즉 같은 차원의 행렬에서만 가능합니다. 이것을 덧셈과 뺄셈에 대해 상사성이 있다고 표현하기도 합니다.

일반적으로 나타내자면 행렬의 덧셈과 뺄셈은 아래의 수식으로 표현할 수 있습니다.

[a_{ij}]_{mn} + [b_{ij}]_{mn} = [a_{ij} + b_{ij}]_{mn}

여기에서 뺄셈의 경우에는 음수를 더하는 것으로 생각하면 됩니다.

곱셈

스칼라배

어떤 행렬에 실수복소수 등의 스칼라량인 k 를 곱하면 행렬의 모든 성분에 k 가 곱해지는 것과 같습니다.

예컨대 아래와 같은 행렬이 있다고 합시다.

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

여기에 스칼라량 3을 곱하면

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \times 3 = \begin{bmatrix} 1 \times 3 & 2 \times 3 \\ 3 \times 3 & 4 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}

가 되는 것입니다.

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