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“오빤 항상 그런 식이야……항등식.”

Lihe, 항등식이 무엇인지 설명하기 위해 예시를 들며

항등식 (恒等式, Identity) 은 등식의 일종으로, 등식 내의 특정한 변수가 변하는 값에 관계 없이 항상 성립하는 등식입니다.

정의

항등식 (恒等式) 은 등식 내의 특정한 변수가 변하는 값에 관계 없이 항상 성립하는 등식이라고 정의할 수 있으며, 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들의 계수가 모두 동일한 등식이라고 정의할 수도 있습니다. 이렇게 특정한 변수들을 구분하기 위해 (특정한 어떤 문자)에 대한 항등식이라는 명칭을 사용하는 경우가 많으며, 항등식에서 변수로 사용되는 문자 이외의 문자들은 모두 상수여야 한다는 조건이 있습니다.

예컨대 3x + 4x = 7x와 같은 식은 x에 대한 항등식이며 x의 값에 관계 없이 항상 성립합니다.

성질

아래처럼 x에 관한 항등식을 몇 가지 생각하면 항등식의 성질들을 대략적으로 알 수 있습니다.

  1. ax + b = 0 이 항등식인 경우, a = 0, b = 0 입니다.
  2. ax^2 + bx + x = 0 이 항등식인 경우, a = 0, b = 0, c = 0 입니다.
  3. ax + b = cx + d 가 항등식인 경우, a = c, b = d 입니다.
  4. ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f 가 항등식인 경우, a = d, b = e, c = f 입니다.

재미있는 항등식

\sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left ( \sum_{k = 1}^{n} k \right )^2

중요한 항등식들

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