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函數 / function

정의

함수 (函數, function) 는 공집합이 아닌 두 집합 X, Y 의 특정한 대응관계를 뜻하는데, 집합 X 의 모든 원소들이 집합 Y 의 원소에 오직 하나씩 대응할 때 이를 X 에서 Y 로의 함수라고 정의하며 기호로는 아래와 같이 표기합니다.

f : X \to Y

이때, 집합 X 를 함수 f정의역 (定義域, domain) 이라 하고, 집합 Y 를 함수 f공역 (共域, co-domain) 이라고 합니다.

이 정의는 수학자 율리우스 빌헬름 리하르트 데데킨트에 의해 사상 (寫像) 이라는 이름으로 제안되었으며, 그는 XY 가 수로 이루어진 집합인 경우에 이 사상을 함수라고 하였으나 이후 함수라는 개념의 적용 범위가 확대됨에 따라 현재는 함수와 사상이 비슷한 의미로 사용되고 있습니다. 다만 사상이라는 개념은 함수의 개념을 더욱 추상화시킨 것으로 이해할 수 있습니다.

좀 더 쉬운 설명

함수.jpg

무언가(x)를 넣으면 다른 무언가(y)가 나오는 상자가 함수입니다.

함수를 좀 더 쉽게 설명하기 위해서 특이하게도 한자 표기를 활용하여 설명할 수 있습니다.[1]

우선 함수의 함(函)이라는 글자를 봅시다. 이 글자는 '상자'라는 의미가 있습니다. 상자 안에 무언가를 집어넣듯, 함수 역시 어떤 것을 집어넣는 것이라고 생각하면 일단 그 부분에 대해서 쉬운 이해가 가능합니다. 그러나 함수는 상자와 다른 점이 있기 때문에 이것만 생각하게 되면 혼동의 여지가 있습니다.

상자 안에 무엇을 넣는 것은 보관의 목적을 가지고 있기에 그 내용물이 변하지 않으며 한번 넣으면 그 안에 계속 있는데 반해, 함수라는 상자는 무언가를 넣으면 반드시 다른 무언가가 나오게 됩니다. 쉽게 말해 밑 빠진 독과 비슷한데, 넣은 것이 항상 그대로 나오지 않는다는 점이 차이입니다.

예컨대

y = f(x), \quad y = x+2

라는 관계를 가진 함수가 있을 때, 이 함수는 x 를 집어넣으면 그것보다 2 만큼 큰 수인 y 가 나오는 것으로 이해할 수 있습니다.

예를 들어 여기에 3 을 집어넣어보면

f(3) = 3 + 2 = 5

5 라는 값이 나오는군요.[2]

함수값과 치역

함수 f : X \to Y 에 대해 X 의 원소 xY 의 원소 y 가 대응할 때, y 를 함수 f 에 의한 x함수값이라 하며 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.

y = f(x)

이때, X 의 모든 원소에 대한 함수값 전체의 집합

\{f(x)|x \in X\}

를 함수 f치역 (値域, range) 이라고 합니다.

함수의 종류

항등함수와 상수함수

함수 f : X \to Y 에서 정의역 X 의 임의의 원소 x 에 대해 f(x) = x 인 함수를 항등함수 (恒等函數, identity function) 라고 합니다.

또, 함수 f : X \to Y 에서 정의역 X 의 임의의 원소 x 에 대해 Y 의 오직 하나의 원소만 대응할 때, 이 함수를 상수함수 (常數函數, constant function) 라고 합니다.

역함수

정의

함수 f : X \to Y전단사 함수이면 Y 의 각 원소 y 에 대하여 f(x) = y 인 원소 x 가 단 하나만 존재합니다.

그러므로 Y 의 각 원소 y 에 대해 f(x) = yX 의 원소 x 를 대응시키는 관계는 Y 에서 X 로의 함수가 되며, 이 함수를 함수 f역함수 (逆函數, inverse function) 라고 하며 기호로는 f^{-1} 로 나타냅니다.

성질

함수 f : X \to Y전단사 함수이면 반드시 역함수 f^{-1}가 존재합니다. 또한 f^{-1} \circ fX 에서 X 로의 항등함수이며 f \circ f^{-1}Y 에서 Y 로의 항등함수입니다.

즉, x \in X, y \in Y 일때

(f^{-1} \circ f) (x) = x

이며

(f \circ f^{-1}) (y) = y

입니다.

그 외에도 어떤 함수 y = f(x) 와 그 함수의 역함수 y = f^{-1}(x) 의 그래프가 직선 y = x 에 대해 서로 대칭이라는 성질이 있습니다.

우함수와 기함수

어떤 함수 f(x)

f(-x) = f(x)

를 만족하면 그 함수의 그래프는 y 축에 대해 대칭이 되며, 이런 함수를 우함수 (偶函數, even function) 라고 합니다.

또한, 어떤 함수 f(x)

f(x) = -f(x)

를 만족하면 그 함수의 그래프는 원점에 대해 대칭이 되며, 이런 함수를 기함수 (奇函數, odd function) 라고 합니다.

분류

도보기

Sn

  1. '함수'라는 개념이 처음 생긴 것이 한자 문화권이 아니었음에도 불구하고 그 특성을 상당히 잘 표현한 말이기 때문입니다.
  2. 여기서 f(3) 은 이 함수에 3 을 집어넣는다는 의미입니다. 그러므로, 원래 있던 다항식x 가 있는 부분을 전부 3 으로 바꾼 다음에 계산을 하면 y 의 값이 나옵니다.

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