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포물선


포물선 (抛物線, Parabola) 은 평면에서 정점 FF 를 지나지 않는 정직선 l\, 이 주어졌을 때, F 에 이르는 거리와 l\, 에 이르는 거리가 같은 점들의 자취로 정의됩니다.

개요

포물선 (抛物線, Parabola) 은 평면에서 정점 FF 를 지나지 않는 정직선 l\, 이 주어졌을 때, F 에 이르는 거리와 l\, 에 이르는 거리가 같은 점들의 자취로 정의됩니다.

이때 F초점 (焦點, focus) 이라고 하며, l\, 을 준선(準線, directrix)이라고 합니다. 또, 포물선은 준선에 수직이고 초점을 지나는 직선에 대해 대칭인데 이를 이라 하고, 축과 포물선의 교점을 꼭짓점이라 합니다. 준선이 y축에 수직인 포물선은 이차 함수와 같습니다.[1]

포물선의 방정식

준선이 x축에 수직인 경우

일단 포물선의 축이 x축이고, 꼭짓점을 지나면서 준선에 평행한 직선이 y축이며, 포물선의 초점F 의 좌표가 F(p, 0) 인 경우를 생각해봅시다.

이 포물선 위의 어떤 점 P(x, y) 에서 준선에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 포물선의 정의에 따라 P 에서 F 까지의 거리와 P 에서 H 까지의 거리가 같습니다.

따라서 거리를 구하는 공식을 활용하면

\sqrt {(x - p)^2 + (y)^2} = |x + p|

가 되며, 이 식을 정리하면

(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2
\therefore y^2 = 4px

가 됩니다. 그렇기에 준선이 x축에 수직인 포물선의 방정식의 표준형y^2 = 4px 라고 할 수 있습니다.

이제 이것을 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면

(y\,- n)^2 = 4p\,(x\,- m)

가 됩니다. 이때 초점과 준선 역시 평행이동되어서, 초점은 (p + m, n), 준선은 x = -p + m 이 됩니다.

준선이 y축에 수직인 경우

준선이 y축에 수직인 경우는 x축에 수직인 경우와 같은 방식으로 전개하면 됩니다. 초점 FF(0, p) 로 놓고, 포물선 위에서 임의의 점 P(x, y) 를 잡습니다. 이 점에서 준선에 수선의 발을 내린 것을 H 로 놓으면 포물선의 정의에 따라 P 에서 F 까지의 거리와 P 에서 H 까지의 거리가 같습니다.

따라서 거리를 구하는 공식을 활용하면 됩니다.

\sqrt {x^2 + (y - p)^2} = |y + p|

이 식을 정리하면

x^2 + (y - p)^2 = (y + p)^2
\therefore x^2 = 4py

이므로, 준선이 y축에 수직인 포물선의 방정식의 표준형x^2 = 4py 라고 할 수 있습니다.

이제 이것을 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동하면

(x\,- m)^2 = 4p\,(y\, - n)

가 됩니다. 이때 초점과 준선 역시 평행이동되어서, 초점은 (m, p + n), 준선은 y = -p + n 이 됩니다.

접선의 방정식

기울기가 주어졌을 때

기울기가 k\, 로 주어졌다고 하면 접선의 방정식은 아래와 같습니다.

  • 포물선이 (y - n)^2 = 4p(x - m) 일 경우, 접선의 방정식은 (y\,- n) = k(x - m) + \frac {p}{k}
    • 포물선을 y^2 = 4px 의 꼴로 나타낼 수 있으면 접선의 방정식을 y = mx + \frac {p}{m} 으로 계산하는 것이 간편합니다.
  • 포물선이 (x - m)^2 = 4p(y - n) 일 경우, 접선의 방정식은 (y\,- n) = k(x\,- m) - k^2 p
    • 포물선을 x^2 = 4py 의 꼴로 나타낼 수 있으면 접선의 방정식을 y = mx - m^2p 로 계산하는 것이 간편합니다.

성질

초점에서 포물선으로 수직인 선을 그었을 때

꼭짓점이 원점인 포물선의 초점 F 에서 수직인 선을 긋고, 그것을 준선과 수직이 되도록 이으면 원점과 초점 사이의 거리와 수직인 선이 포물선에서 만나는 점과 초점 사이의 거리는 1 : 2 의 비율을 가집니다.

증명
포물선 성질 1


위의 그림에서 \overline {AH} = \overline {AF} 이므로

\overline {OF} = \frac {1}{2} \overline {AH}

가 됩니다.

따라서 아래의 식이 성립합니다.

OF : AF = 1 : 2

Sn

  1. 이 문서의 제일 윗 부분에 있는 그림이 바로 준선이 y축에 수직인 포물선에 해당됩니다.

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