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페아노 공리계

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페아노 공리계 (Peano 公理系) 는 이탈리아수학자주세페 페아노가 제안한 공리계입니다.

개요

페아노 공리계는 주세페 페아노가 제안하였으며, 자연수 체계에 대한 정리를 위해 만들어졌습니다.

내용

페아노 공리계는 자연수 집합\mathbb{N}이 만족해야 하는 조건들에 대해 규정한 것입니다.

1. 임의의 자연수 x에 대해, x = x. 즉, 동일성은 반사관계이다.
2. 임의의 자연수 xy에 대해, x = y 이면 y = x. 즉, 동일성은 대칭관계이다.
3. 임의의 자연수 x, y, z에 대해, x = y 이고 y = z 이면 x = z. 즉, 동일성은 추이관계이다.
4. 임의의 ab에 대해, a가 자연수이고 a = b 이면 b도 자연수이다. 즉, 자연수 집합은 동일성에 대해 닫혀 있다.
5. 0은 자연수이다.
6. 임의의 자연수 n에 대해, S(n)은 자연수이다.
7. 임의의 자연수 n에 대해, S(n) \ne 0. 즉, 따름수0인 자연수는 존재하지 않는다.
8. 임의의 자연수 mn에 대해, S(m) = S(n)이면 m = n. 즉, S단사 함수이다.
9. K가 다음의 조건을 만족하는 집합이라 하자.

9.1) 0K의 원소이다.
9.2) 임의의 자연수 n에 대해, nK의 원소이면, S(n)K의 원소이다.

이때, K는 모든 자연수를 포함한다.

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