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파인만1 양자 역학 관련 문서
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파동 함수 (波動函數, wave function) 는 양자 역학의 상태에 대한 정보를 담고 있는 복소 함수입니다.

개요

파동 함수 (波動函數, wave function) 는 양자 역학의 상태에 대한 정보를 담고 있는 복소 함수입니다.

파동 함수 \psi슈뢰딩거 방정식을 이용하여 구할 수 있으며, 그 자체로는 어떤 의미를 가지고 있다고 보기 어려웠습니다. 그러나 이후 막스 보른이 제창한 통계학적 해석에 따라 입자가 발견될 확률을 나타내는 것으로 밝혀졌습니다. 이 통계학적 해석에 따르면 |\psi (x, t)|^2 은 주어진 시간 t 에 어떤 지점 x 에서 그 입자를 발견할 확률 밀도를 나타내며, 이것을 적분하면 확률이 됩니다.

보다 정확하게 표현하자면 ab 사이에서 시간 t 에 입자가 발견될 확률은

\int_{a}^{b} |\psi (x, t)|^2 \, dx

가 됩니다.

형태

파동 함수는 반드시 실수로 표현되지는 않기에 실수부와 허수부를 갖는 복소 함수를 고려하여 아래와 같은 형태로 표현합니다.

\psi = A + iB \quad (단, A, B 는 실수함수)

그리고 파동 함수 \psi복소 공액\psi^{*} 는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

\psi^{*} = A - iB \quad (단, A, B 는 실수함수)

위 식을 이용하여 파동 함수의 절댓값의 자승을 계산하면 아래와 같습니다.

|\psi|^2 = \psi \psi^{*} = A^{2} - i^{2}B^{2} = A^{2} + B^{2}

이를 통해 파동 함수의 절댓값의 자승으로 표현되는 확률 밀도의 계산 결과는 항상 양의 실수가 나오게 된다는 것을 알 수 있습니다.

규격화

규격화란 무엇인가

막스 보른이 제창한 통계학적 해석에 따라 ab 사이에서 시간 t 에 입자가 발견될 확률은

\int_{a}^{b} |\psi (x, t)|^2 \, dx

라는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 당연하게도 모든 구간에 대해 적분한다면 확률은 1이 나와야만 할 것입니다. 왜냐하면 입자라는 녀석은 어딘가에는 반드시 존재해야 하기 때문입니다. 그러므로

\int_{\infty}^{- \infty} |\psi (x, t)|^2 \, dx = 1

이라는 조건을 생각할 수 있습니다.

그런데 이 조건이 추가적으로 도입되는 것이 슈뢰딩거 방정식과 모순되는지에 대한 생각이 들 수도 있습니다. 파동 함수라는 것은 결국 슈뢰딩거 방정식에 따라 유도되는 것이므로 이러한 조건이 슈뢰딩거 방정식에 모순된다면 우리의 해석이 무너지고 양자 역학이 무너지고 물리학이 황폐화될 것입니다. 다행히도 \psi (x, t) 가 슈뢰딩거 방정식의 해일 때, 그것에 어떤 복소수 상수 A 를 곱한 A \psi (x, t) 역시 해가 되므로 우리의 이러한 걱정은 결국 걱정에서 그쳤지만 새로운 해석이 가능합니다. 잘 생각해보면 결국 우리가 해야 하는 일은 슈뢰딩거 방정식만으로 결정되지 않는 상수 A 를 적절하게 찾아서 우리의 규격화 조건을 만족시키는 것이라는 새로운 해석이 가능해집니다.

이렇게 복소수 상수 A 를 적절하게 찾아서

\int_{\infty}^{- \infty} |\psi (x, t)|^2 \, dx = 1

를 만족하게 만드는 일을 규격화 (normalize) 라고 합니다.

그런데 어떤 경우에는 슈뢰딩거 방정식의 해를 모든 영역에 대해 적분할 때 결과로 무한대가 나오는 참사가 발생하기도 합니다. 이러한 경우에는 A 를 어떻게 잡더라도 절대 규격화 조건에 따라 적분값이 1이 되지 못합니다. \psi = 0 과 같이 물리학적으로 무가치한 경우에도 마찬가지입니다. 이러한 경우를 규격화 불가능 (non-normalizable) 한 해라고 부르며, 실제 입자의 상태를 나타내지 못하므로 가차 없이 버려집니다. 물리적으로 구현 가능한 상태는 슈뢰딩거 방정식의 해 중에서도 규격화 가능한 경우만 해당됩니다.

파동 함수가 어떤 시간에 규격화되었다면 이후로도 규격화된 상태인가

우리가 예컨대 t = 0 인 시간에서 파동 함수 \psi 를 규격화했다고 합시다. 그렇다면 이 \psi 는 시간이 흐르면서 여전히 규격화된 상태를 유지할까요? 아니면 그 시간에서만 규격화되고 이후로는 변하게 될까요? 우선 잘 생각해보면 시간의 흐름에 따라 다시 파동 함수를 규격화하는 짓을 하면 안된다는 걸 깨닫게 됩니다. 그렇게 되면 상수 A 가 시간의 함수가 되어서 A \psi 는 더 이상 슈뢰딩거 방정식의 해가 아니기 때문입니다.

그러니 결국 어떤 시간에 파동 함수가 규격화되었을 때 그 특정한 시간 이후에는 규격화된 상태가 아니라면 통계학적 해석이 어긋나고 양자 역학 전체가 무너진다는 걸 알 수 있습니다. 결론부터 말하자면, 정말 다행히도 슈뢰딩거 방정식의 특성 덕분에 파동 함수는 한번 규격화되면 이후에 시간에 따라 변하더라도 규격화 상태가 계속 유지됩니다. 이제 슈뢰딩거 방정식의 이 중요한 특성을 수학적으로 증명해보겠습니다.

우선 아래의 식을 생각할 수 있을 것입니다.

\frac {d}{dt} \int_{\infty}^{- \infty} |\psi (x, t)|^2 \, dx = \int_{\infty}^{- \infty} \frac {\partial}{\partial t} \, |\psi (x, t)|^2 \, dx

좌변의 적분은 시간 t 에 대한 함수이므로 전미분을 이용해 표기할 수 있으며, 우변에서 적분되는 함수는 t 의 함수인 동시에 x 의 함수이기도 해서 편미분을 이용해 표기합니다.

미분에서의 곱셈 공식을 이용하면

\frac {\partial}{\partial t} |\psi |^2 = \frac {\partial}{\partial t} (\psi \psi^{*}) = \frac {\partial \psi^{*}}{\partial t} \psi + \frac {\partial \psi}{\partial t} \psi^{*}

임을 알 수 있습니다.

슈뢰딩거 방정식을 적용하면

\frac {\partial}{\partial t} \psi = \frac {i \hbar}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2} \psi - \frac {i}{\hbar} V \, \psi

이며

\frac {\partial}{\partial t} \psi^{*} = \frac {i \hbar}{2m} \frac {\partial^2}{\partial x^2} \psi^{*} + \frac {i}{\hbar} V \, \psi^{*}

이므로

결론적으로 우리는 아래의 식을 얻을 수 있습니다.

\frac {\partial}{\partial t} |\psi |^2 = \frac {i \hbar}{2m} \left (\frac {\partial^2 \psi}{\partial x^2} \psi^{*} - \frac {\partial^2 \psi^{*}}{\partial x^2} \psi \right ) = \frac {\partial}{\partial x} \left [ \frac {i \hbar}{2m} \left ( \frac {\partial \psi}{\partial x} \psi^{*} - \frac {\partial \psi^{*}}{\partial x} \psi \right ) \right ]

이제 처음에 생각했던 적분을 하면

\frac {d}{dt} \int_{\infty}^{- \infty} |\psi (x, t)|^2 \, dx = \left. \frac {i \hbar}{2m} \left ( \frac {\partial \psi}{\partial x} \psi^{*} - \frac {\partial \psi^{*}}{\partial x} \psi \right ) \right |_{-\infty}^{\infty}

입니다.

여기에서 x\pm \infty 로 감에 따라 파동 함수의 값은 0 에 수렴해야 합니다. 이는 규격화되기 위한 필요 조건입니다. 그러므로 위의 적분은 0 이 되어야 합니다.

\frac {d}{dt} \int_{\infty}^{- \infty} |\psi (x, t)|^2 \, dx = 0

따라서 \int_{\infty}^{- \infty} |\psi |^2 \, dx 는 시간에 무관하게 일정한 값을 가진다는 사실을 알 수 있습니다. 시간에 대한 변화율이 0 이기 때문입니다.

그러므로 t = 0 에서 파동 함수 \psi 가 규격화되었다면 그 함수는 이후 모든 시간에서 규격화된 상태를 유지합니다.
Q. E. D.

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