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E = mc^2

特殊相對性理論 / spezielle Relativitätstheorie / special theory of relativity

개요

특수 상대성 이론 (特殊相對性理論) 은 광속에 가까운 속도로 운동하는 물체들을 다루는 역학 이론입니다.

가정

특수 상대성 이론은 두 가지의 가정에서 출발합니다. 갈릴레오 갈릴레이가 처음으로 생각했던 상대성 원리의 속도는 모든 관성 좌표계에서 동일하게 측정된다는 가정이 그것입니다.

로렌츠 변환

어떤 관성 좌표계 O 에서 t 시간에 x, y, z 에서 P 라는 사건이 일어났다고 생각해봅시다. 이때 O 에 대해 x축 방향으로 일정한 속도 v 로 움직이는 관성 좌표계 O' 에서는 사건 Pt' 시간에 x', y', z' 에서 일어난다고 하면, OO' 에서 사건이 일대일 대응이 되어야 하기 때문에 xx' 사이의 관계는

x' = k(x - vt)

가 됩니다.

특수 상대성 이론의 가정인 상대성 원리에 따라 두 관성 좌표계는 모든 물리 법칙이 같아야 하므로

x = k(x' + vt')

가 됩니다. 이때, 속도 v 의 방향에 수직인 성분은 변하지 않기 때문에 y' = y, z' = z 가 됩니다.

위의 첫 식에 두 번째 식을 대입하면

x = k^2(x - vt) + kvt'
t' = kt + \left ( \frac {1 - k^2}{kv} \right ) x

가 됩니다.

특수 상대성 이론의 또 다른 가정에 따라 광속은 모든 관성 좌표계에서 동일한 값을 가지기에

x = ct, x' = ct'

라고 서술할 수 있습니다.

이제 여기에다가 위의 식들을 집어넣으면

k(x - vt) = ckt + \left ( \frac {1 - k^2}{kv} \right ) cx
x = \frac {ckt + vkt}{k - (\frac {1 - k^2}{kv})c}

가 되며, 이것은 다시

x = ct \left ( \frac {k + \frac {v}{c}k}{k - \frac {1 - k^2}{kv}c} \right ) = ct \left ( \frac {1 + \frac{v}{c}}{1-(\frac {1}{k^2}-1) \frac {c}{v}} \right )

로 정리할 수 있습니다.

여기에서 \left (\frac {1 + \frac {v}{c}}{1-(\frac {1}{k^2}-1)\frac {c}{v}} \right ) 부분이 1이 되면 x = ct 가 되면서 두 관성 좌표계에서 광속이 같습니다.

\therefore k = \frac {1}{\sqrt{1- \frac {v^2}{c^2}}}

여기에서 유도된 k로렌츠 인자라고 부르며, 기호로는 흔히 \gamma 를 사용하여 표기합니다.

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