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집합 (集合, set) 은 어떤 조건이 주어졌을 때, 그 조건이 가리키는 대상이 명확한 것들의 모임입니다. 집합 개념이 수학에 도입된 것은 그리 오래되지 않았으나 현대 수학의 거의 모든 이론은 집합을 기반으로 하고 있습니다. 이러한 집합에 관련된 것들을 연구하는 분야를 집합론이라고 합니다.

정의

집합의 정의에 있어서, 제시된 조건이 가리키는 대상이 명확해야 한다는 점은 굉장히 중요합니다. 쉽게 말해, '착한 사람들의 집합'이라고 한다면 '착하다'는 것을 명확하게 판별할 수 없으며 상당히 주관적이기 때문에 집합으로 정의될 수 없습니다.[1]

원소

어떤 집합이 있을 때, 그 집합을 구성하고 있는 대상 각각을 그 집합의 원소 (element) 라고 합니다. 보통 집합은 로마자 대문자로 표기하며 원소는 로마자 소문자로 표기합니다. 원소와 집합의 관계는 배중률을 철저하게 따릅니다. 쉽게 말하자면, 어떤 집합 S 와 어떤 원소 a 가 있을 때 aS 의 원소이거나 S 의 원소가 아닙니다.

표현

집합의 표현에는 크게 원소나열법과 조건제시법이 있습니다. 원소나열법은 말 그대로 원소를 쭉 나열하여 집합을 나타내는 방법이며, 조건제시법은 집합에 속하는 모든 원소가 갖는 공통적인 수학적 성질들을 조건으로 하여 집합을 나타내는 방법입니다. 예컨대 자연수의 집합 \mathbb{N} 은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

  • 원소나열법 : \mathbb{N} = \{1, 2, 3 ...\}
  • 조건제시법 : \mathbb{N} = \{x|x는 자연수\}

위의 원소나열법에서 ... 이라는 기호는 원소가 너무 많아 일일이 다 적기 어려울 때 생략하기 위해 사용됩니다. 또한 조건제시법에서 x 뒤에 나오는 | 라는 기호는 아무런 의미가 없으며, 단지 구분을 위해 쓰는 것입니다.

도보기

Sn

  1. 만약에 착하다는 것을 객관적으로 판단할 수 있는 기준이 있다면, 그것을 조건으로 사용해서 착한 사람들의 집합을 정의할 수 있습니다. 하지만 현재까지는 누구나 동의할 수 있으며 엄밀하게 증명된 '착함'의 기준이 없습니다. 따라서 이 예시는 유효한 예시입니다.

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