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자연수 (自然數, natural number) 는 양의 정수 (1, 2, 3 ,4 ...) 를 지칭하거나 음이 아닌 정수 (0, 1, 2, 3 ...) 를 지칭하는 표현입니다.[1] 자연수 전체를 기호로는 흔히 \mathbb{N} 으로 표기합니다.

정의

자연수는 굉장히 익숙한 개념이며, 다른 수들에 비해 가장 먼저 생각된 개념이기도 합니다. 그러나 자연수를 수학적으로 엄밀하게 정의하기까지 상당히 오랜 시간이 걸렸습니다. 현재는 페아노 공리계집합론을 사용하여 정의하는 것이 일반적입니다.

집합론을 사용한 정의

집합론을 사용하여 다음과 같이 자연수를 귀납적으로 정의할 수 있습니다.

  1. 0 = \{ \}으로 정의합니다. 이때 \{ \}공집합을 뜻합니다.
  2. 모든 a에 대해, S(a) = a \cup \{a\} 로 정의합니다.
  3. 따라서 모든 자연수의 집합은 0을 포함하며 다음 수 함수에 대해 닫혀 있는 모든 집합들의 교집합으로 정의됩니다.

이 정의에서 모든 자연수는 그 수보다 작은 자연수들의 집합과 같습니다. 즉,

  • 0 = \{ \}
  • 1 = \{0\} = \{\{ \}\}
  • 2 = \{0, 1\} = \{0, \{0\}\} = \{\{ \}, \{\{ \}\}\}
  • 3 = \{0, 1, 2\} = \{0, \{0\}, \{0, \{0\}\}\} = \{\{ \}, \{\{ \}\}, \{\{ \}, \{\{ \}\}\}\}

여기에서 무한 공리를 가정하면 이 정의가 페아노 공리계를 만족함을 보일 수 있습니다.

특징

도보기

Sn

  1. 정수론에서는 양의 정수를 자연수로 여기는 경우가 대부분이며, 집합론에서는 음이 아닌 정수를 자연수로 여기는 경우가 대부분입니다.

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