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(圓, circle) 은 유클리드 기하학에서 평면 상의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합으로 정의되는 평면도형입니다. 또한 직원뿔을 축과 수직이 되도록 자르면 단면이 원이 되므로, 원을 이심률이 0인 원뿔 곡선으로 간주할 수 있습니다.

원의 방정식

2차원 직교 좌표계에서 원을 대수 방정식으로 표현할 수 있습니다. 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원을

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

으로 표현하며, 이것을 원의 방정식이라고 부릅니다.

예컨대 중심이 (2, 1)이고 반지름이 4인 원은

(x-2)^2 + (y-1)^2 = 16

으로 표현할 수 있습니다.

원주와 넓이

임의의 원의 반지름의 길이를 r이라고 할 때, 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

  • 원주율의 정의에 의해 원주는 2\pi r\, 로 나타낼 수 있습니다.
  • 원의 넓이 SS = \pi r^2 으로 나타낼 수 있습니다.
  • 원의 둘레l = 2\pi r 임을 이용하여 l = 2\sqrt{{\pi S}} 로 정리할 수 있습니다.
  • 원은 모든 평면도형 중에서 둘레가 같은 경우에 넓이가 가장 큰 도형입니다.

이 중에서 특히 원의 넓이\pi r^2 이 되는 것은 이해하기 어려울 수 있습니다. 그러나 사실은 매우 간단한 것인데, 극좌표계에 반지름이 R 인 원을 그렸다고 생각하면 넓이 S 는 당연히 면적 요소의 적분으로 나타낼 수 있습니다.

S = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r dr d \theta
= \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{R} r dr = 2 \pi \frac {1}{2} R^2 = \pi R^2

원에 내접하는 사각형 중 가장 큰 넓이를 가지는 사각형

반지름이 R 인 원에 내접하는 사각형 중에서 가장 큰 넓이를 가지는 사각형은 무엇일까요?

우선 우리가 생각하는 사각형의 한 변을 x 라고 하고 사각형의 대각선을 y 라고 하면 또 다른 한 변은

\sqrt {(y)^2 - x^2}

이 되며, 사각형의 대각선은 반드시 외접하는 원의 지름이 되어야 하므로 위의 식은

\sqrt {4R^2 - x^2}

이 될 것입니다.

이제 내접하는 사각형의 넓이는

S = x \sqrt {4R^2 - x^2}

이 되며, 이것을 미분하여 극대값을 구해보도록 합시다.

넓이를 x 에 대해 미분하면

\frac {dS}{dx} = x \times \frac {-x}{\sqrt {4R^2 - x^2}} + \sqrt {4R^2 - x^2} = \frac {4R^2 - 2x^2}{\sqrt {4R^2 - x^2}}

이 됩니다.

이제 극대값을 구하기 위해

\frac {4R^2 - 2x^2}{\sqrt {4R^2 - x^2}} = 0

으로 놓으면 이는

4R^2 - 2x^2 = 0

이며

x = R \sqrt {2}

가 됩니다.

이제 다른 한 변은

\sqrt {4R^2 - x^2} = \sqrt {4R^2 - 2R^2} = \sqrt {2R^2} = R \sqrt {2}

이므로 구하려던 변의 길이와 다른 한 변의 길이가 동일합니다.

결과적으로 이 사각형의 두 변의 길이는 동일하며, 이 원에 내접하는 가장 큰 넓이를 가지는 사각형은 정사각형입니다.

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