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파인만1 양자 역학 관련 문서
이 문서는 양자 역학에 관련된 내용이 나오는 문서이니 이해가 안된다고 본인의 두뇌를 양자화시키지 마십시오.
i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi=-\frac {\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi

슈뢰딩거 방정식 (슈뢰딩거方程式, Schrödinger equation) 은 양자 역학의 시간에 따른 변화를 나타내는 선형 편미분 방정식입니다. 1925년에 오스트리아의 물리학자 에르빈 루돌프 요제프 알렉산더 슈뢰딩거가 발표하였으며, 양자 역학에서 중요한 방정식 중 하나입니다.

설명

1차원

1차원에서 퍼텐셜 에너지V 인 공간에 존재하는, 질량이 m 인 입자의 물질파가 만족하는 방정식은 아래와 같습니다.[1]

i \hbar \frac {\partial}{\partial t} \psi=-\frac {\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V \psi

이 방정식은 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식이라고 불리며, \psi파동 함수를 뜻합니다.

퍼텐셜 에너지 V가 시간에 무관할 때에는 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같은 파동 함수로 풀 수 있습니다.

\psi (x, t) = \psi (x) e^{-iEt/\hbar}

여기에서 E 는 입자가 가진 에너지를 뜻하며, 이 파동 함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

-\frac {\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V \psi = E \psi

이것을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라고 하며, 이 파동 함수의 자승은 확률 밀도 함수로 해석됩니다.

3차원

1차원 슈뢰딩거 방정식을 3차원으로 확장시키는 일은 매우 간단합니다. 우선 슈뢰딩거 방정식은 해밀토니안을 사용해 표기하면 아래와 같습니다.

i \hbar \frac {\partial \Psi}{\partial t} = H \Psi

여기에서 해밀토니안 연산자 H 는 고전 역학의 에너지 공식에서 얻을 수 있습니다.

\frac {1}{2} mv^2 + V = \frac {1}{2m} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + V

고전적인 물리량을 양자 역학에서의 연산자로 바꾸는 것을 아래와 같이 적용합니다.

p_x \to \frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial x}, \quad p_y \to \frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial y}, \quad p_z \to \frac {\hbar}{i} \frac {\partial}{\partial z}

벡터 표기법을 써서 더욱 간단하게 나타내자면 아래와 같습니다.

\mathbf {P} \to \frac {\hbar}{i} \nabla

이에 따라 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같이 됩니다.

i \hbar \frac {\partial \Psi}{\partial t} = - \frac {\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V \Psi

여기에서 라플라스 연산자 \nabla^2 은 직교 좌표계 (cartesian coordinates) 에서 아래와 같이 표현됩니다.

\nabla^2 \equiv \frac {\partial^2}{\partial x} + \frac {\partial^2}{\partial y} + \frac {\partial^2}{\partial z}

도보기

Sn

  1. 이 식에서 \nabla^2\frac {\partial^2}{\partial x^2} 를 축약해서 표현한 것입니다.

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