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순열 (順列, permutation) 은 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 배열하는 연산입니다. 치환 (置換) 이라고도 하며, 함수의 합성에 따라 대칭군을 이룹니다.

개요

순열 (順列, permutation) 은 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 배열하는 연산입니다. 좀 더 쉽게 말하자면 서로 다른 n 개의 원소 중에서 n 과 같거나 n 보다 작은 r 개를 택하여 일렬로 나열하는 것을 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 순열이라고 설명할 수 있습니다. 또한 이를 _nP_r 이라는 기호로 표기하기도 하며, P 는 'Permutation'의 첫 글자를 딴 것입니다.

예시

예컨대 숫자 1, 2, 3 중에 2개를 택해서 두 자리의 자연수를 만드는 경우를 생각해봅시다. 이때 가능한 경우들을 나열해보면

  1. 12
  2. 13
  3. 21
  4. 23
  5. 31
  6. 32

로 총 6가지가 나옵니다. 이는 서로 다른 3개의 원소 중에서 2개를 택하여 일렬로 나열한 것으로, _3P_2 로 표기할 수 있습니다.

변형

팩토리얼 역시 순열의 일종으로 취급할 수 있으며, n!_nP_n 과 같습니다. 이를 이용하여 _nP_r 이라는 순열을 팩토리얼을 이용한 표기로도 나타낼 수 있습니다.

0 < r < n 인 경우에 _nP_rn \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times (n - r + 1) 이 되는데, 이것은 다시 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

\frac{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times (n - r + 1) \times (n - r) \times (n - r - 1) \times ... \times 2 \times 1}{(n-r) \times (n -r -1) \times ... \times 2 \times 1}

이때, 분모 부분은 n! 이고 분자 부분은 (n - r)! 이므로

_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!}

이 됩니다.

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