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수학 설명 그림.jpg 수학 관련 문서
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“Die Essenz der Mathematik liegt in ihrer Freiheit. (수학의 본질은 그 자유성에 있다.)”

게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어

“수학은 제대로 보면 진리만이 아니라 최상의 아름다움까지 가지고 있다.
바로 조각상이 지닌 차갑고 엄숙한 아름다움을.”

버트런드 아서 윌리엄 러셀

“당신이 무엇에 대해 말하는지 모르며 당신이 말하는 것이 참인지 아닌지 신경쓰지 않는 학문이 수학이다.”

버트런드 아서 윌리엄 러셀

“간결한 정리, 아름다운 증명, 엄청난 응용”

데이비드 에치슨, 수학의 매력적인 요소에 대해
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수학 (數學, Mathematics) 은 인간이 만든 수 체계에 관한 것들을 다루는 흥미로운 학문입니다. 단순 암기식 교육으로 인해 많은 학생들이 원망하는 과목이기도 합니다.

개요

수학은 기발한 상상력으로 이루어진 매우 흥미로운 학문입니다. 수학에서의 혁신적인 발상들은 대부분 '당연하게 여겨지던 것'들을 다시 의심하고 그 틈을 찾아내는 것으로 시작되었는데, 현재 학교에서의 암기식 수학 교육은 수학의 공리와 이론들을 전혀 의심하지 않고 믿게 만들기 때문에 창의적인 발상을 하거나 흥미를 가지기가 어렵습니다. 왜 해야 하는지도 모르면서 수학 공식을 암기하고 시험을 준비하면서 수학을 증오하는 것이 학생들의 일상입니다.

역사

인류의 역사에 있어 숫자는 언어를 표기하는 문자만큼이나 오랜 역사를 지니고 있습니다. 지금까지 정보를 기록하는 방법을 알아낸 모든 문명에서 수를 기록하는 수단이 발견되었습니다. 일부 역사학자들은 숫자가 문자보다 먼저 발명되었다고 주장하기도 합니다.

여러 가지 설이 있으나, 분명한 것은 바로 문명 초기에는 숫자가 형용사로 사용되었다는 점입니다. 당시에 숫자는 사물의 수나 양을 헤아리는 수단이었습니다. 예컨대 '7'이라는 숫자를 사용하기 이전에도 '일곱 개의 사과'같은 말이 존재했을 것입니다. 그러나 '일곱'이라는 개념이 등장하면서 이제 '일곱 개의 사과'나 '일곱 마리의 거북이', '일곱 명의 사람' 등을 표현할 때 동일한 형용사를 사용하게 되었으며, 이런 경우들을 모두 '7'이라는 기호를 개발하여 나타내면서 '7'이라는 숫자 자체가 독립적으로 다루어질 수 있게 되었습니다. 또한 이렇게 독립적으로 다룰 수 있게 된 시점부터 인류는 수학을 하기 시작했을 것입니다.

최초의 수학적인 기록은 고대 이집트 문명메소포타미아 문명에서 시작됩니다. 두 문명에서는 문자를 기록하는 필경사 (scribe) 라는 직업이 있었으며, 이들은 어떤 내용을 단순하게 기록하는 것에서부터 산술적인 계산이나 수학 문제를 풀기까지도 했습니다. 현재 전해지는 고대의 수학 문헌들은 대개 젊은 필경사들을 위한 수학 교재인 것으로 추정됩니다. 대부분은 간단한 연습 문제이며, 해답과 풀이 과정이 끝부분에 기록되어 있습니다.

사물의 수를 헤아리는 것 이외에 측량을 위해서 수를 사용하기도 했으므로 분수의 필요성은 매우 일찍 대두되었을 것으로 추정되며, 당시의 분수들은 표기가 복잡한 편이었기에 이들을 이용하여 계산하는 것은 어려운 일이었습니다. 우선 이집트 문명에서는 'n분의 1' 형태의 단위 분수 꼴로 분수의 개념을 생각했습니다. 예컨대 '7 나누기 5'는 '7의 5분의 1'로 이는 '1과 5분의 2'가 됩니다. 그러나 이집트인들은 같은 단위 분수를 반복해서 쓰지 않았기 때문에 '1과 5분의 2'가 아니라 '1과 3분의 1과 15분의 1'처럼 복잡하게 나타낼 수밖에 없었습니다.

메소포타미아 문명에서는 상당히 특이한 분수 표기법을 사용했는데, 서로 다른 단위들을 쉽게 변환할 수 있도록 고안된 것으로 추정됩니다. 메소포타미아인들은 1부터 59까지의 숫자들을 기호로 표기하는 60진법을 사용하면서 현대의 자릿수와 비슷한 개념을 사용하여 큰 숫자를 표시하였는데, 예시를 쉽게 들기 위해 실제 메소포타미아인들은 쓰지 않았던 쉼표 (,) 와 쌍점 (:) 을 도입하겠습니다. 쉼표는 자릿수가 바뀌는 걸 표시하며, 쌍점은 분수가 시작되는 부분을 표시해줍니다. 예컨대 '1, 20'이라고 표기된 것은 1 \times 60 + 20 이 되어 10진수에서의 '80'을 의미합니다. 또한 '1 : 22, 24'와 같은 것은 1 + \frac {22}{60} + \frac {24}{60^2} 이 되어 10진수에서의 '1.37333333...' 또는 '1 \frac {28}{75}' 을 의미합니다. 메소포타미아인들의 분수 표기법에도 문제가 있었는데, 유한한 60진수만 사용하다보니 예컨대 7의 역수인 '7분의 1' 같은 것을 표기할 수가 없었습니다. 그래서 적절한 근사치를 찾아서 써야만 했기 때문에 이집트의 분수 표기보다도 못하다는 문제가 있습니다.

이후 이집트 문명과 메소포타미아 문명의 수학에 영향을 받은 고대 그리스와 헬레니즘 문화권에서 수학은 보다 체계적으로 발전했습니다. 특히 그리스인들은 처음으로 '수학적 증명'이라는 개념을 만들었습니다.[1] 이러한 수학적 증명 방법의 탄생 덕분에 수를 다루는 방법이나 수와 다른 양들 사이의 관계를 정립할 수 있게 되었습니다.

여러 가지 수학적 연구들이 개별적으로 진행되고 있었는데, 그러다가 BC 4세기 이전에 그리스인들은 같은 단위로 잴 수 없는 양이 존재한다는 사실을 발견하게 되었습니다. 게다가 단순한 기술적인 문제가 아니라 길이를 나타내는 데에 수를 일반적으로 사용할 수 없음을 수학적으로 증명한 것이었기 때문에 문제는 더욱 심각했습니다.

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Sn

  1. 그 이전까지의 수학은 연역적인 방식의 증명이 없었기 때문에 대개 귀납적으로 맞으면 맞다고 간주되고 있었습니다.

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