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선형 변환 (線型變換, linear transformation) 은 벡터 합과 스칼라 곱을 만족하는 벡터 공간에 대한 함수입니다.

정의

K를 기반으로 한 벡터 공간 V, W가 있을 때,
V에 속하는 임의의 두 벡터 x, y에 대해

f(x+y) = f(x) + f(y)

가 성립하며, 또한 K에 속하는 임의의 스칼라 a에 대해

f(ax) = af(x)

를 만족하는 함수 f : V \to W를 선형 변환이라고 합니다.

위의 정의를 이용하면 모든 선형 변환은 벡터 x_1, \cdots , x_m와 스칼라 a_1, \cdots , a_m에 대해

f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)

의 공식을 만족한다고 할 수도 있습니다.

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