FANDOM


삼각함수 (三角函數, trigonometric functions) 는 직각삼각형의 각을 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다.

개요

삼각함수직각삼각형의 각을 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다. 가장 기본적인 주기함수로, 다양한 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장합니다.

삼각함수에는 3개의 기본 함수가 있으며, 각각 사인 (sine, \sin) · 코사인 (cosine, \cos) · 탄젠트 (tangent, \tan) 입니다. 그리고 이 세 가지 함수의 역수가 각각 코시컨트 (cosecant, \csc) · 시컨트 (secant, \sec) · 코탄젠트 (cotangent, \cot)라고 합니다.

정의

기하학적 정의

C 가 직각인 삼각형 ABC 에서, 각 A, B, C 의 대변의 길이를 a, b, h라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 아래와 같습니다.

사인 : \sin A = \frac{a}{h}
코사인 : \cos A = \frac{b}{h}
탄젠트 : \tan A = \frac{a}{b}

그리고 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위의 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의됩니다.

코시컨트: \csc A = \frac{h}{a} = \frac{1}{\sin A}
시컨트: \sec A = \frac{h}{b} = \frac{1}{\cos A}
코탄젠트: \cot A = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan A}

단위원 정의

삼각함수 단위원 정의

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원인 단위원을 이용하여 삼각함수를 정의할 수 있습니다. 단위원 위의 점 (x, y)에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을 \theta 라디안이라고 하면, 사인과 코사인은 아래와 같이 정의됩니다.

\sin \theta = y
\cos \theta = x

이에 따라 다른 삼각함수들은 아래와 같이 정의됩니다.

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

공식

덧셈 정리

  • \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
  • \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
  • \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
  • \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
  • \tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
  • \tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

증명

삼각함수의 덧셈 정리는 좌표평면 위의 단위원을 통해 증명할 수 있습니다. 우선 단위원을 그린 다음, x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 \alpha, \beta인 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q라 합니다.

코사인 덧셈 정리

두 점 P, Q의 좌표는 각각 P(\cos \alpha, \sin \alpha), Q(\cos \beta, \sin \beta)인데, 여기에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면

\overline {PQ}^2 = (\cos \beta - \cos \alpha)^2 + (\sin \beta - \sin \alpha)^2

이 됩니다. 이것은 다시

= (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) - 2(\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos \alpha)

가 되며, 이것은

= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

으로 정리할 수 있습니다.

여기에서 \overline {OP} = \overline {OQ} = 1이며 \angle POQ = \alpha - \beta이므로 제2 코사인 법칙을 활용하면

\overline {PQ}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos (\alpha - \beta) = 2 - 2\cos (\alpha - \beta)입니다.

따라서, 아래와 같은 덧셈 정리가 성립합니다.

\therefore \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

이 과정에서 \beta 대신에 -\beta를 집어넣으면

\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

사인 덧셈 정리

또한, \sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta, \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta 임을 이용하여 아래와 같이 \sin (\alpha \pm \beta)를 유도할 수 있습니다.

\sin (\alpha + \beta) = \cos \{\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\} = \cos \{(\frac{\pi}{2} - \alpha)  -\beta)\}
= \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \cos \beta + \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\therefore \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

여기에 \beta 대신 -\beta를 집어넣고 정리하면

\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

이 됩니다.

탄젠트 덧셈 정리

\tan 덧셈 정리를 증명하기 위해서는 \sin\cos 덧셈 정리를 사용하는 것이 간편합니다.

\tan (\alpha + \beta) = \frac {\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}

여기에서 분모와 분자를 \cos \alpha \cos \beta로 나누면

\frac {\frac {\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac {\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}
\therefore \tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

여기에 \beta 대신 -\beta를 집어넣고 정리하면

\tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

배각 공식

2배각
  • \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha
  • \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
  • \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha} {1 - \tan^{2}\alpha}
3배각
  • \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha
  • \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

반각 공식

  • \sin^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 - \cos \alpha}{2}
  • \cos^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 + \cos \alpha}{2}
  • \tan^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

합/차 공식

곱을 합/차로 변형

  • \sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}
  • \cos \alpha \sin \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\}
  • \cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\}
  • \sin \alpha \sin \beta = -\frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\}
유도 과정
  • \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
  • \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

위의 덧셈정리를 사용해서 아래와 같은 식을 만들 수 있습니다.

 \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta
 \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta

이것을 정리하면

\sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}
\cos \alpha \sin \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\}

\cos 의 경우에도 같은 방법을 사용하면 아래의 식을 유도할 수 있습니다.

\cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\}
\sin \alpha \sin \beta = -\frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\}

합/차를 곱으로 변형

\alpha + \beta = A, \alpha - \beta = B로 놓으면 아래의 공식이 성립합니다.

  • \sin A + \sin B = 2\sin \frac {A + B}{2} \cos \frac {A - B}{2}
  • \sin A - \sin B = 2\cos \frac {A + B}{2} \sin \frac {A - B}{2}
  • \cos A + \cos B = 2\cos \frac {A + B}{2} \cos \frac {A - B}{2}
  • \cos A - \cos B = -2\sin \frac {A + B}{2} \sin \frac {A - B}{2}

도보기

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki