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삼각함수 (三角函數, trigonometric functions) 는 직각삼각형의 각을 직각삼각형을 이루고 있는 세 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다. 삼각함수는 가장 기본적인 주기함수이며, 주기적으로 일어나는 여러 현상들을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장하기도 합니다. 결국 삼각함수라는 개념 덕분에 주기를 가진 것들을 편하게 수학적으로 표현할 수 있게 되었다는 말입니다.

개요 편집

삼각함수 (三角函數, trigonometric functions) 는 직각삼각형의 각을 직각삼각형을 이루고 있는 세 변들의 길이의 비로 나타내는 함수입니다. 삼각함수는 가장 기본적인 주기함수이며, 주기적으로 일어나는 여러 현상들을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장하기도 합니다. 결국 삼각함수라는 개념 덕분에 주기를 가진 것들을 편하게 수학적으로 표현할 수 있게 되었다는 말입니다.

삼각함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 각각 사인 (sine, \sin), 코사인 (cosine, \cos), 탄젠트 (tangent, \tan) 입니다. 그리고 이 세 가지 함수의 역수인 함수 세 가지가 있으며 각각 코시컨트 (cosecant, \csc), 시컨트 (secant, \sec), 코탄젠트 (cotangent, \cot) 라고 합니다. 이 6가지 함수가 바로 삼각함수의 모든 것이지만 이렇게 간단한 것들을 가지고 엄청난 것들을 표현할 수 있습니다.

삼각함수와 관련된 정리 중에서는 제2 코사인 법칙이 제일 유명합니다. 이는 피타고라스 정리를 확장해서 직각삼각형이 아닌 모든 삼각형에 대해 적용될 수 있도록 만든 법칙입니다. 그리고 푸리에 급수라는 것도 있는데, 이는 어떤 임의의 함수를 표현하기 위해서 그것을 삼각함수들의 합으로 나타내는 참신한 기법입니다.

정의 편집

기하학적 정의 편집

C 가 직각인 삼각형 ABC 에서, 각 A, B, C 의 대변의 길이를 a, b, h 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 아래와 같습니다.

사인 : \sin A = \frac {a}{h}
코사인 : \cos A = \frac {b}{h}
탄젠트 : \tan A = \frac {a}{b}

그리고 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위의 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의됩니다.

코시컨트 : \csc A = \frac {h}{a} = \frac {1}{\sin A}
시컨트 : \sec A = \frac {h}{b} = \frac {1}{\cos A}
코탄젠트 : \cot A = \frac {b}{a} = \frac {1}{\tan A}

단위원 정의 편집

삼각함수 단위원 정의

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원인 단위원을 이용하여 삼각함수를 정의할 수 있습니다. 단위원 위의 점 (x, y) 에 대해, x 축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을 \theta 라디안이라고 하면, 사인과 코사인은 아래와 같이 정의됩니다.

\sin \theta = y
\cos \theta = x

이에 따라 다른 삼각함수들은 아래와 같이 정의됩니다.

\tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}
\sec\theta = \frac {1}{\cos \theta}
\csc\theta = \frac {1}{\sin \theta}
\cot\theta = \frac {1}{\tan \theta} = \frac {\cos \theta}{\sin \theta}

공식 편집

덧셈 정리 편집

  • \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
  • \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
  • \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
  • \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
  • \tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
  • \tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

증명 편집

삼각함수의 덧셈 정리는 좌표평면 위의 단위원을 통해 증명할 수 있습니다. 우선 단위원을 그린 다음, x 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 \alpha, \beta 인 두 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q 라 합니다.

코사인 덧셈 정리

두 점 P, Q 의 좌표는 각각 P(\cos \alpha, \sin \alpha), Q(\cos \beta, \sin \beta) 인데, 여기에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 사용하면

\overline {PQ}^2 = (\cos \beta - \cos \alpha)^2 + (\sin \beta - \sin \alpha)^2

이 됩니다. 이것은 다시

= (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) - 2(\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos \alpha)

가 되며, 이것은

= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

으로 정리할 수 있습니다.

여기에서 \overline {OP} = \overline {OQ} = 1 이며 \angle POQ = \alpha - \beta 이므로 제2 코사인 법칙을 활용하면

\overline {PQ}^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos (\alpha - \beta) = 2 - 2\cos (\alpha - \beta)입니다.

따라서, 아래와 같은 덧셈 정리가 성립합니다.

\therefore \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

이 과정에서 \beta 대신에 -\beta 를 집어넣으면

\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

사인 덧셈 정리

또한, \sin (\frac {\pi}{2} - \theta) = \cos \theta, \cos (\frac {\pi}{2} - \theta) = \sin \theta 임을 이용하여 아래와 같이 \sin (\alpha \pm \beta) 를 유도할 수 있습니다.

\sin (\alpha + \beta) = \cos \{\frac {\pi}{2} - (\alpha + \beta)\} = \cos \{(\frac {\pi}{2} - \alpha)  -\beta)\}
= \cos (\frac {\pi}{2} - \alpha) \cos \beta + \sin (\frac {\pi}{2} - \alpha) \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\therefore \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

여기에 \beta 대신 -\beta 를 집어넣고 정리하면

\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

이 됩니다.

탄젠트 덧셈 정리

\tan 덧셈 정리를 증명하기 위해서는 \sin\cos 덧셈 정리를 사용하는 것이 간편합니다.

\tan (\alpha + \beta) = \frac {\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}

여기에서 분모와 분자를 \cos \alpha \cos \beta 로 나누면

\frac {\frac {\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac {\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}
\therefore \tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

여기에 \beta 대신 -\beta 를 집어넣고 정리하면

\tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

배각 공식 편집

2배각
  • \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha
  • \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha
  • \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha} {1 - \tan^{2}\alpha}
3배각
  • \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha
  • \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha

반각 공식 편집

  • \sin^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 - \cos \alpha}{2}
  • \cos^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 + \cos \alpha}{2}
  • \tan^2 \frac {\alpha}{2} = \frac {1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

합/차 공식 편집

곱을 합/차로 변형 편집

  • \sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}
  • \cos \alpha \sin \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\}
  • \cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\}
  • \sin \alpha \sin \beta = -\frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\}
유도 과정
  • \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
  • \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

위의 덧셈정리를 사용해서 아래와 같은 식을 만들 수 있습니다.

 \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta
 \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta

이것을 정리하면

\sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}
\cos \alpha \sin \beta = \frac {1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\}

\cos 의 경우에도 같은 방법을 사용하면 아래의 식을 유도할 수 있습니다.

\cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\}
\sin \alpha \sin \beta = -\frac {1}{2} \{\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)\}

합/차를 곱으로 변형 편집

\alpha + \beta = A, \alpha - \beta = B 로 놓으면 아래의 공식이 성립합니다.

  • \sin A + \sin B = 2\sin \frac {A + B}{2} \cos \frac {A - B}{2}
  • \sin A - \sin B = 2\cos \frac {A + B}{2} \sin \frac {A - B}{2}
  • \cos A + \cos B = 2\cos \frac {A + B}{2} \cos \frac {A - B}{2}
  • \cos A - \cos B = -2\sin \frac {A + B}{2} \sin \frac {A - B}{2}

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