FANDOM


파인만1.jpg 양자 역학 관련 문서
이 문서는 양자 역학에 관련된 내용이 나오는 문서이니 이해가 안된다고 본인의 두뇌를 양자화시키지 마십시오.
\Delta x\Delta p\ge\hbar/2

불확정성 원리 (不確定性原理, Uncertainty principle) 는 양자 역학에서 상보적인 두 가지의 관측가능량을 동시에 측정할 때, 그 측정의 정확도에 물리적 한계가 있다는 원리입니다.

개요

불확정성 원리 (不確定性原理, Uncertainty principle) 는 양자 역학에서 상보적인 두 가지의 관측가능량을 동시에 측정할 때, 그 측정의 정확도에 물리적 한계가 있다는 원리입니다. 양자 역학에 대한 추가적인 가정이라는 오해를 받기도 하나, 양자 역학의 규칙들을 이용하여 통계적인 분석을 한 결과로 탄생한 근본적 원리입니다.

상보적인 두 가지 관측가능량은 각각 입자의 위치와 운동량 또는 시간과 에너지를 의미하는데, 어떤 입자의 위치를 정확하게 측정할수록 그 입자의 운동량은 불확실해지고 운동량을 정확하게 측정할수록 위치가 불확실해집니다. 이는 관측의 기술적 한계 때문이 아니라 자연이 실제로 그렇게 되어 있기 때문입니다.

수식

불확정성 원리는

\Delta x\Delta p\ge\hbar/2

라는 수식으로 표현됩니다.

여기에서 \Delta x 는 위치를 뜻하며, \Delta p 는 운동량을 뜻합니다.

위치의 평균에 대한 이차평균 (x 의 표준편차) 은

\sigma_x = \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle}

이며,

운동량의 평균에 대한 이차평균 (p 의 표준편차) 은

\sigma_p = \sqrt{\langle(P - \langle P \rangle)^2\rangle}

이므로, 두 표준편차를 곱하면 아래와 같은 결과가 얻어집니다.

\sigma_x \sigma_p \ge {\hbar \over 2}

즉, 위치와 운동량의 표준편차의 곱은 디락 상수의 절반과 같거나 큽니다.

증명

불확정성 원리에 대한 일반화된 증명은 다음과 같습니다.

우선 임의의 관측량 A 에 대한 분산은 아래와 같습니다.

\sigma_{A}^2 = \left \langle {(\hat A - \langle A \rangle ) \psi | (\hat A - \langle A \rangle ) \psi } \right \rangle = \langle f | f \rangle

여기에서 f \equiv (\hat A - \langle A \rangle ) \psi 입니다.

이와 마찬가지로 또 다른 임의의 관측량 B 에 대해서도 \sigma_{B}^2 = \langle g | g \rangle 이 성립하며, g \equiv (\hat B - \langle B \rangle ) \psi 입니다.

그러므로 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면 아래와 같은 결과를 얻습니다.

\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 = \langle f | f \rangle \langle g | g \rangle \geq | \langle f | g \rangle |^2

임의의 복소수 z 에 대해서 항상

|z|^2 = [\operatorname {Re}(z)]^2 + [\operatorname {Im}(z)]^2 \geq [\operatorname {Im}(z)]^2 = \left [ \frac {1}{2i} (z - z^{*}) \right ]^2

이 성립하므로

\langle f | g \ranglez 로 표현하면

\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2  \geq \left (\frac {1}{2i} [\langle f | g \rangle - \langle g | f \rangle ] \right )^2

입니다.

여기에서 \langle f | g \rangle 의 값은

\langle f | g \rangle = \left \langle {(\hat A - \langle A \rangle ) \psi | (\hat B - \langle B \rangle ) \psi } \right \rangle
= \left\langle {\psi | (\hat A - \langle A \rangle )(\hat B - \langle B \rangle ) \psi } \right \rangle
= \left \langle {\psi | (\hat A \hat B - \hat A \langle B \rangle  - \hat B \langle A \rangle  + \langle A \rangle \langle B \rangle ) \psi } \right \rangle
= \langle {\psi | \hat A \hat B \psi  \rangle  - \langle B \rangle \langle \psi  | \hat A \psi  \rangle  - \langle A \rangle \langle \psi | \hat B \psi \rangle  + \langle A \rangle \langle B \rangle \langle \psi | \psi } \rangle
= \langle {\hat A \hat B} \rangle  - \langle B \rangle \langle A \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle + \langle A \rangle \langle B \rangle
= \langle {\hat A \hat B} \rangle  - \langle A \rangle \langle B \rangle

이와 마찬가지로

\langle g | f \rangle = \langle \hat B \hat A \rangle - \langle A \rangle \langle B \rangle

의 결과를 얻을 수 있으며,

그러므로 우리는 아래의 식을 얻게 됩니다.

\langle f | g \rangle - \langle g | f \rangle = \langle \hat A \hat B \rangle - \langle \hat B \hat A \rangle = \langle [\hat A , \hat B] \rangle

여기에서 [\hat A , \hat B]

[\hat A , \hat B] \equiv \hat A \hat B - \hat B \hat A

이며, 두 연산자의 교환자입니다.

결론적으로

\sigma_{A}^2 \sigma_{B}^2 \geq \left (\frac {1}{2i} \langle [\hat A , \hat B] \rangle \right )^2

이라는 식을 얻을 수 있으며, 이것이 바로 일반화된 불확정성 원리입니다.
Q. E. D.

이는 교환자가 0 이 아닌 임의의 두 관측량에 대해 항상 성립하며, 그러한 두 관측량을 서로 호환되지 않는 관측량들 (incompatible observables) 이라고 합니다.

예컨대 첫 번째 관측량이 위치이고 두 번째 관측량이 운동량인 경우를 생각해봅시다.

[\hat x , \hat p] = i \hbar

이므로

\sigma_{x}^2 \sigma_{p}^2 \geq \left ( \frac {1}{2i} i \hbar \right ) = \left ( \frac {\hbar}{2} \right )^2

이 되며, 여기에서 양의 자승근을 취하게 되면

\sigma_{x} \sigma_{p} \geq \frac {\hbar}{2}

라는 결과가 나옵니다. 이것이 우리가 가장 흔하게 접하는 불확정성 원리의 식입니다.

불확정성 원리에서 중요한 점은 바로 이 원리가 양자 역학에 대한 추가적인 가정이 아니라 양자 역학의 통계적 해석의 결과로 나타난다는 것입니다.

도보기

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki