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복소수 (複素數, Complex number) 는 임의의 두 수 a, b를 실수, i허수단위라고 할 때 a + bi 모양으로 나타낼 수 있는 수입니다.

개요

복소수 (複素數, Complex number) 는 임의의 두 수 a, b를 실수, i허수단위라고 할 때 a + bi 모양으로 나타낼 수 있는 수입니다. 복소수가 탄생하기 이전에는 사람들이 실수 범위에서만 생각했었는데, 어떠한 실수도 자승하여 음수가 되지 않기에 x^2 = -1과 같은 방정식의 근을 구하기 위해서는 수 체계를 확장할 필요가 있음을 깨닫게 되었습니다. 그렇게 허수가 탄생하게 되었는데, 기존의 모든 실수들을 실수 + 허수 꼴로 나타낸 다음에 허수 부분이 0i라고 할 수 있다는 사실에 따라 모든 수에 대한 복소 표기가 생기게 된 것입니다.

연산

상등

실수 부분이 서로 다르거나 허수 부분이 서로 다른 두 복소수가 있을 경우, 이 둘이 서로 다르다고 말할 수는 있으나 어떤 것이 더 크다거나 작다고 말할 수 없습니다. 즉, 두 실수의 대소는 정의하지만 실수가 아닌 복소수의 대소는 정의하지 않는 것입니다. 또한 두 복소수의 실수 부분이 서로 같고 허수 부분도 같을 때 두 복소수가 서로 같다고 말할 수 있습니다.

복소수의 상등에 대한 정의는 상당히 간단한 편인데, 임의의 수 a, b, c, d 가 모두 실수이고 a = c, b = d 이면 a + bic + di 는 서로 같으며 이를 a + bi = c + di 로 나타낼 수 있습니다.

이러한 정의에 따라 임의의 수 a, b가 모두 실수일 때 a = 0, b = 0 이면 a + bi = 0 임을 생각할 수도 있습니다.

성질

복소수의 연산에 대한 성질은 아래와 같이 요약할 수 있습니다.

  1. 0으로 나누는 경우[1]를 제외하면 복소수에 대해 복소수를 피연산자로 취하는 사칙연산을 해도 복소수가 됩니다.
  1. 임의의 수 \alpha , \beta , \gamma가 복소수면 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
    1. 교환법칙 : \alpha + \beta = \beta + \alpha 이며 \alpha \beta = \beta \alpha 입니다.
    2. 결합법칙 : (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) 이며 (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma) 입니다.
    3. 분배법칙 : \alpha (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma 이며 (\beta + \gamma) \alpha = \beta \alpha + \gamma \alpha 입니다.

사칙연산

a, b, c, d실수이고 i허수 단위일 때, 복소수의 사칙연산은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

  1. 덧셈 : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  2. 뺄셈 : (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  3. 곱셈 : (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  4. 나눗셈 : \frac {a + bi}{c + di} = \frac {ac + bd}{c^2 + d^2} - \frac {ad - bc}{c^2 + d^2}i (단, c + di \neq 0)

특징

복소수는 몇 가지의 놀라운 특징을 가지고 있습니다. 우선 복소수는 수 체계에서 생기는 모순을 해결하기 위해 인위적으로 만들어진 수임에도 불구하고 기존의 체계와 수학적으로 아무런 모순도 일으키지 않습니다. 다음으로 사물의 측정 등의 실용적인 분야에서는 자주 사용되지 않으나 여러 가지 면에서 유용하다는 것이 특징인데, 이는 양자 역학 등에서도 놀랍게 잘 들어맞습니다.

그 외에도 허수 단위 i 는 그저 x^2 = -1 이라는 방정식의 해를 위해 도입되었으나 이것을 이용하여 모든 다항 방정식의 해를 구할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이것을 대수학의 기본 정리라고 합니다.

복소수의 또 다른 중요한 기능 중 하나는 바로 아르강 다이어그램을 이용하여 기하학의 다양한 특성들을 간결하게 표현할 수 있다는 점입니다. 이 표기법에서 복소수는 평면 상의 한 점에 대응하는데, 쉽게 말하자면 a + bi 가 좌표 (a, b) 에 대응되는 식입니다. 이때 원점과 복소수 사이의 거리는

r = \sqrt {a^2 + b^2}

이 되며, 거리 r 과 수평의 실수축 사이의 각도는

\theta = \tan ^{-1} (\frac {b}{a})

입니다.

여기에서 삼각함수를 이용하면

a = r \cos \theta , b = r \sin \theta

의 관계가 도출됩니다.

이제 이 평면에서 두 복소수 z = x + yi, a+ bi 의 곱셈을 기하학적으로 해석할 수 있습니다. 우선 z 를 평면 상의 점 (x, y) 에 대응시킨 다음에 이 점에 r 을 곱해서 (rx, ry) 로 만듭니다. 이후 이 점을 원점을 중심으로 반시계방향으로 \theta 만큼 회전시키면 두 복소수의 곱에 해당하는 좌표를 얻을 수 있습니다.

도보기

Sn

  1. 0으로 나누는 것은 수학에서 언제나 금기시되는 일입니다.

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