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“미분하십시오!”

수학자 싱-선 천 (Shiing-Shen Chern)

미분 (微分, differentiation) 은 함수의 순간변화율 (미분계수) 을 구하는 계산 과정을 뜻합니다.

개요

미분 (微分, differentiation) 은 함수의 순간변화율 (미분계수) 을 구하는 계산 과정을 뜻합니다. 좀 더 쉽게 설명하자면, 어떤 기준에 대한 다른 것의 변화 정도를 계산하는 방법입니다. 물리학에서는 주로 시간에 대해 다른 어떤 것이 변화하는 정도를 알아내기 위해 미분을 사용합니다.

미분은 원래 특정한 그래프를 분석하는 방법으로 시작하였으나 일반적인 단계까지 확장되었기에 어떤 함수 f(x) 가 있을 때 f(x) 의 특정 구간을 정의역으로 하고 그 구간에서의 모든 미분계수를 치역으로 한 함수인 도함수 f'(x) 를 구하는 과정을 미분이라고 하는 경우가 많습니다. 이 과정을 쉽게 표현하여 'f(x)x 에 대해 미분한다'라고 말할 수 있습니다.

설명

미분법에 대한 설명 방식은 크게 두 가지가 있는데, 수학적인 개념을 중심으로 설명하는 것과 기호 자체에 주목하는 방법이 있습니다. 현재는 대개 수학적인 개념을 중심으로 설명하고 있으나 기호 자체에 대한 이해가 훨씬 쉬운 경우도 있습니다. 그렇기 때문에 이 문서에서는 두 가지 방법을 모두 소개하고 있습니다.

수학적 개념 위주의 설명

평균변화율과 순간변화율

미분을 이해하기 위해서는 우선 평균변화율과 순간변화율이라는 개념을 이해해야 합니다. 이 개념들을 통해 도함수라는 것이 무엇인지 알 수 있으며, 도함수를 구하는 것이 미분의 목적이기 때문입니다.

어떤 함수가 있는데, 그 함수의 이름이 f(x) 라는 가정을 해봅시다. 그리 예쁜 이름 같지는 않지만, 이름을 붙여주면 한 떨기 함수조차도 우리에게 의미있는 것으로 다가옵니다. 이 f(x) 에서 x 값이 어떤 지점 a 에서부터 a + \Delta x 까지 변하는 경우가 있습니다. 그러니까, a 에서 출발하여 \Delta x 라는 거리만큼 떨어져 있는 녀석까지의 구간이 있는 것이지요.

이때, x 가 변하는 것에 따라 y 값 역시 변할 것입니다. y 가 변한 만큼의 값 (\Delta y) 을 x 가 변한 만큼의 값 (\Delta x) 으로 나누면 아래와 같습니다.

\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}

이것을 구간 [a, a + \Delta x] 에서의 y평균변화율 (平均變化率) 이라고 정의합니다.

a + \Delta x = b 로 놓고 이항하면 \Delta x = b - a 이므로, 위의 정의를 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다.

\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}

이것은 구간 [a, b] 에서의 평균변화율이 되는 것입니다.


미분 설명을 위한 그래프1


평균변화율을 기하학적으로 해석하는 것 역시 중요한데, 어떤 함수 y = f(x) 가 있을 때, 구간 [a, a + \Delta x] 에서의 y 의 평균변화율은 이 함수에서 x 좌표가 a 인 점과 a + \Delta x 인 점을 이어서 만든 직선의 기울기와 같습니다. 위의 괴상한 그래프에서 빨간색으로 표시된 점들을 이은 직선이 삼각형의 빗변을 이루며, 이 직선의 기울기가 구간 [a, a + \Delta x] 에서의 y 의 평균변화율입니다.

이제 아까 정의한 평균변화율에서 \Delta x0 에 한없이 가깝게 보내는 경우를 생각해봅시다.

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}

이 극한값을 f(x)x = a 에서의 순간변화율 (瞬間變化率) 또는 미분계수 (微分係數) 라고 부릅니다.

기하학적으로 해석해보자면, 함수 y = f(x)x = a 에서의 순간변화율은 x 좌표가 a 인 점에 접하는 직선의 기울기를 의미합니다.

도함수

위에서 정의한 순간변화율을 보다 일반화시키기 위해 함수 y = f(x) 에 있는 임의의 x 에서의 순간변화율들을 전부 모으면 그 자체로 하나의 함수가 되며, 이것을 도함수 (導函數) 라고 합니다. 도함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

위의 식을 x 에 관한 y 의 도함수라고 하며, 기호로는 y', f'(x), \frac {dy}{dx}, \frac {d}{dx}f(x) 등을 사용하여 표기합니다.

기하학적으로 해석해보자면, 도함수 f'(x)y = f(x) 라는 함수 그래프 위의 임의의 점에서의 접선의 기울기를 의미합니다.

기호 자체에 주목하는 설명

기호에 주목하면서 미분법을 이해하는 것도 가능하며, 때로는 이쪽이 훨씬 더 직관적이게 느껴지기도 합니다.

기본적인 기호에 대해

미분법에서 사용되는 기호 중에는 d 라는 것이 있는데, 이는 '어떤 것의 아주 작은 부분' (a little bit of) 을 의미합니다. 여기에서 작다고 하는 것은 무한히 작은 것을 의미합니다. 그러므로 dx 라는 글자가 보이면, 이는 단순히 x 의 아주 작은 부분이라는 의미를 가질 뿐이며 그 이외의 의미는 없습니다. 이와 마찬가지로 dyy 의 아주 작은 부분, dzz 의 아주 작은 부분이라는 의미입니다.

d 는 무한히 작은 부분을 의미하기 때문에 어떤 것에서 d 를 두 번 취하게 되면 무한히 작은 것을 다시 무한히 작게 나눠서 그 중 한 부분을 취한 것이므로 무시할 수 있을 정도의 크기가 됩니다. 그렇기 때문에 식을 전개했을 때 dx 는 무시하면 안되지만 (dx)^2x 의 무한히 작은 부분 중의 무한히 작은 부분이므로 무시해도 됩니다.

변화에 대해

미분법에 대해 생각한다는 것은 본질적으로 말해 변하고 있는 어떤 양들과 그것들이 변화하는 정도를 다룬다는 의미입니다. 변하고 있는 어떤 양은 크게 변수 (variable) 와 상수 (constant) 로 분류되는데, 변수는 크기가 변하는 양이며 상수는 어떤 정해진 값을 가지는 양입니다. 관례적으로 변수의 표기에는 로마자의 뒷쪽에 있는 x, y, z, u, v, w 등을 사용하는 경우가 많으며 상수의 경우에는 로마자의 앞쪽에 있는 a, b, c 등을 이용하는 경우가 많습니다.

우리가 다루게 되는 어떤 양들은 대개 하나 이상이 서로 어떤 관계에 따라 놓여있는 경우들인데, 이러한 양들 중 하나에 변화가 생기면 다른 것에도 변화가 생깁니다. 예컨대 yx 가 어떤 함수 관계에 있다고 하면, y 의 값이 변하여서 y + dy 가 되면 xx + dx 가 됩니다. 여기에서 dydxyx 에 더해진 아주 작은 부분이 되며, 이를 각각 xy증분 (增分) 이라고 표현하기도 합니다.

어떤 특정한 지점에서 dydx 의 비율은 특정한 값이 나오게 되는데, 대부분의 경우에는 그 지점과 다른 지점에서 dydx 의 비율을 계산하면 다른 값이 나오게 됩니다. 이러한 변화에 대한 비율들의 값을 다 모으게 되면 그것 역시 하나의 함수가 되는데, 이것을 바로 도함수 (導函數) 라고 합니다. y = f(x) 인 형태의 함수는 dx 에 대한 dy 의 비율을 나타내는 함수가 곧 도함수가 됩니다.

dx 에 대한 dy 의 비율을 수식으로 쓰면

\frac {dy}{dx}

가 되며, 이를 x 에 대한 y미분계수 (微分係數, differential coefficient) 라고 부르기도 합니다. 이 값을 나타내는 또 다른 함수는 y = f(x) 의 도함수가 됩니다. 그리고 이 \frac {dy}{dx} 의 값을 구하는 과정을 미분 (differentiation) 이라고 부릅니다.


미분 예시

이제 미분이 무엇인지 알았으니 직접 미분을 해보겠습니다. 너무 복잡하거나 원론적인 방식 말고 그냥 간단히

y = x^2

이라는 함수를 미분해봅시다.

이 함수를 보면서 미분하고 싶다는 마음을 느끼게 된다는 것은, yx^2 이 같다는 관계에서 y 가 변할 때 x 가 변하는 그 비율이 어떻게 되는지 알고 싶다는 뜻입니다.

우선 x 에서 이것보다 아주 작은 값인 dx 만큼 값이 증가한다고 생각해봅시다. 그러면 당연히 x^2 과 같은 y 도 그 값이 정확히 얼마인지는 모르지만 어떤 값 dy 만큼 증가할 것입니다. 이는 x 가 커지면 x^2 도 커지므로 그와 같은 y 역시 커진다는 논리입니다.

이를 수식으로 쓰면

x \to x + dx , \quad y \to y + dy

이 되며, 원래의 관계는 아래와 같이 변할 것입니다.

y = x^2 \to y + dy = (x + dx)^2

이제

y + dy = (x + dx)^2

의 우변을 전개하면

y + dy = x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2

이 됩니다.

우변의 제일 마지막 항인 (dx)^2x 의 무한히 작은 부분인 dxdx 를 곱한 것이므로 훨씬 더 심하게 무한하므로 무시할 수 있습니다. 따라서 위의 식은

y + dy = x^2 + 2x \cdot dx

가 되며, 우리가 처음에 봤던 변수 사이의 관계

y = x^2

을 이용해서 양변에 있는 yx^2 을 소거할 수 있기 때문에 최종적으로

dy = 2x \cdot dx

가 됩니다.

우리가 구하려던 것은 dx 에 대한 dy 의 비율이므로 양변을 dx 로 나누면

\frac {dy}{dx} = 2x

가 됩니다.

즉, y = x^2 를 미분하면 y' = 2x 라는 값을 얻을 수 있습니다.

여러 가지 미분

상수 함수의 미분

상수 함수는 f(x) = c 의 꼴로 나타낼 수 있습니다. 여기에서 c 는 상수를 의미합니다. 이것을 미분하면 아래와 같습니다.

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {c - c}{\Delta x} = 0

실수배의 미분

어떤 함수의 실수배는 y = c f(x) 로 나타낼 수 있으며, 이것을 미분하면 아래와 같습니다.

y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {c f(x + \Delta x) - c f(x)}{\Delta x} = c \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = c f'(x)

다항함수의 미분

n자연수인 경우, 인수 분해를 사용해서 f(x) = {x^n}\ 의 도함수를 구하면,

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{(x+\Delta x)^n}  - x^n}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {(x+\Delta x-x)(x^{n-1} + x^{n-2}(x+\Delta x) + x^{n-3}(x+\Delta x)^2 + ... + (x+\Delta x)^{n-1})}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} {(x^{n-1}+x^{n-2}(x+\Delta x) + x^{n-3}(x+\Delta x)^2 + ... + (x+\Delta x)^{n-1})}

이때  \Delta x 0 에 수렴하므로

= x^{n-1}+x^{n-1}+...+x^{n-1} = nx^{n-1}\

따라서 구하려던 도함수는 아래와 같습니다.

\therefore f'(x) = nx^{n-1}\

지수 함수의 미분

지수 함수 e^x 의 도함수는 자기 자신입니다. 즉,

\frac {d}{dx} e^x = e^x

입니다.

증명

이러한 사실이 성립함을 보이기 위해서는 평균변화율의 극한값인

\lim_{h \to 0} \frac {1}{h} (e^{x + h} - e^x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac {e^h - 1}{h}

을 구하면 됩니다.

즉,

\lim_{h \to 0} \frac {e^h - 1}{h} = 1

임을 보이면 증명이 끝납니다.

| h | < 1 이면

\left | \frac {e^h - 1}{h} - 1 \right | = \left | \frac {\lim_n (1 + \frac {h}{n})^n - 1 - h}{h} \right |
= \left | \lim_n \frac {1}{h} \sum_{k = 2}^n {n \choose k} \left ( \frac {h}{n} \right )^k \right | = \left | \lim_n h \sum_{k = 2}^n {n \choose k} \frac {h^{k - 2}}{n^k} \right |
\leq |h| \lim_n \sum_{k = 2}^n {n \choose k} \frac {1}{n^k} = |h| \lim_n \left ( \left (1 + \frac {1}{n} \right )^n - 2 \right )
= |h|(e - 2)


Q. E. D.

합과 차의 미분

(f(x) + g(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x)} - (f(x) + g(x))}{\Delta x}\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x) + g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{f(x + \Delta x)} - f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{g(x + \Delta x) - g(x)}}{\Delta x}\
\therefore (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\

같은 방법으로 계산하면 아래의 식도 성립함을 알 수 있습니다.

(f(x) - g(x))'=f'(x) - g'(x)\

곱의 미분

우선 도함수의 정의에 따라 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

(f(x)g(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x)} - (f(x)g(x))}{\Delta x}\

이제 이것을 변형합니다.

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x)} - {f(x)g(x + \Delta x)} + {f(x)g(x + \Delta x)} - (f(x)g(x))}{\Delta x}\

여기에서 분모에 있는 - {f(x)g(x + \Delta x)} + {f(x)g(x + \Delta x)} 부분은 식을 편하게 정리하기 위해 추가된 것입니다.

다음으로 항을 적절하게 묶어서 계산합니다.

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \lim_{\Delta x \to 0} g(x + \Delta x) + \lim_{\Delta x \to 0} \frac {g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \lim_{\Delta x \to 0}f(x)\

이 계산 결과는 아래와 같습니다.

= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\

몫의 미분

곱의 미분법과 같은 방법으로

\left(\frac {f(x)}{g(x)}\right)' = \frac {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\

입니다.

f(x) = 1 인 경우,

\left(\frac {1}{g(x)}\right)' = \frac {-g'(x)}{(g(x))^2}\

가 됩니다.

합성함수의 미분

(f(g(x)))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{\Delta x}\
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{g(x + \Delta x) - g(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{g(x + \Delta x)} - g(x)}{\Delta x}\
{\Delta x \to 0} 이면, {{g(x + \Delta x) \to g(x)}} 이므로
=\lim_{{g(x + \Delta x) \to g(x)}} \frac {{f(g(x + \Delta x))} - f(g(x))}{g(x + \Delta x) - g(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac {{g(x + \Delta x)} - g(x)}{\Delta x}\

따라서 아래의 식이 성립합니다.

\therefore (f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)
예제

합성함수의 미분을 응용하기 위해 아주 간단한 예제를 보도록 하겠습니다. 예컨대 아래와 같은 함수가 있다고 합시다.

y = (3x^3 + 2x + 1)^3

이제 이것을 두 가지로 나눠서 씁니다.

y = f(u) = u^3, \quad u = g(x) = 3x^3 + 2x + 1

결국 yf(u)u = g(x) 라는 두 함수를 합성한 것으로 이해할 수 있습니다. 이를 한꺼번에 쓰면

y = f(g(x))

이고

\frac {d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)

입니다.

우선 u = g(x) = 3x^3 + 2x +1 을 하나의 문자로 생각하고 f(u) = u^3u 에 대해 미분합니다.

f'(u) = 3u^2 = 3 (3x^3 + 2x + 1)^2

이제 u = g(x) = 3x^3 + 2x + 1x 에 대해 미분하면 됩니다.

u' = g'(x) = 9x^2 + 2

따라서 최종적으로

y' = \frac {d}{dx} (3x^3 + 2x + 1)^3 = 3 (3x^3 + 2x + 1)^2 (9x^2 + 2)

입니다.

이제 일반적으로 y = [f(x)]^nx 에 대해 미분한 결과는

y' = \frac {d}{dx} [f(x)]^n = n [f(x)]^{n - 1} f'(x)

임을 쉽게 알 수 있습니다.

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