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로그 (Logarithm, \log) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다.

개요

로그 (Logarithm, \log) 는 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 얼마나 곱해야 하는지를 나타내는 함수입니다. 1614년에 영국의 수학자 존 네이피어에 의해 발명되었으며, 복잡한 단위의 계산이나 큰 수를 다루는 것에 있어서 매우 유용하기 때문에 물리학, 화학, 천문학 등의 분야에도 널리 사용되고 있습니다.

정의

다양한 방법으로 로그를 정의할 수 있으나, 그 중에서도 가장 간단한 방법을 생각해봅시다.

임의의 수 a 가 있고 a0 보다 크며 1 이 아니라고 생각해보면, 임의의 양수 N 에 대해 a^m = N 을 만족하는 m 은 오직 하나만 존재합니다.

이러한 경우에 지수ma 를 밑으로 하는 N 의 로그라고 정의할 수 있으며, 이를 수식으로는

m = \log_a N

으로 나타냅니다. 이때 N\log_a N 의 진수라고 합니다.

성질

로그에는 특유의 성질이 있습니다. a > 0 이고 M > 0, N > 0 인 경우, 아래와 같은 식이 성립합니다.

그 외에 a > 0, a \neq 1 이며 b > 0 일때 아래와 같은 식이 성립하며, 이를 밑의 변환 공식이라고 부르기도 합니다.

  • \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} (단, c > 0 이며 c \neq 1)
  • \log_a b = \frac{1}{\log_b a} (단, b \neq 1)

증명

우선 \log_a a = 1 임과 \log_a 1 = 0 임을 증명해봅시다. 지수법칙과 로그의 정의를 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

  • a 는 곧 a^1 이므로 \log_a a = 1 입니다.
  • a^01 이므로 \log_a 1 = 0 입니다.

다음으로 \log_a MN = \log_a M + \log_a N 임과 \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N, 그리고 \log_a M^n = n \log_a M 임을 증명해봅시다.

  • \log_a M = m, \log_a N = n 으로 놓으면 로그의 정의에 따라 a^m = M, a^n = N 이 되고, 둘을 곱하면 a^m \times a^n = MN 입니다. 이는 지수법칙에 따라 a^{m+n} = MN 으로 나타낼 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 \log_a MN = m+n 이므로 \log_a MN = \log_a M + \log_a N 입니다.
  • \log_a M = m, \log_a N = n 으로 놓으면 로그의 정의에 따라 a^m = M, a^n = N 이 됩니다. 따라서 \frac{a^m}{a^n} = \frac{M}{N} 이 되며 이는 지수법칙에 따라 a^{m-n} = \frac{M}{N} 으로 표기할 수 있습니다. 다시 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 \log_a \frac{M}{N} = m-n 이므로 \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N 입니다.
  • \log_a M = x 로 놓으면 로그의 정의에 따라 a^x = M 이 됩니다. 따라서 a^{nx} = M^n 이 되며, 로그의 정의에 따라 로그를 취하면 \log_a M^n = nx 이므로 \log_a M^n = n \log_a M 입니다.

마지막으로 밑의 변환 공식인 \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\log_a b = \frac{1}{\log_b a} 를 증명해봅시다.

  • \log_a b = m 으로 놓으면 a^m = b 입니다. 여기에서 양변에 c (단, c > 0 이며 c \neq 1) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 \log_c a^m = \log_c b 이므로 m \log_c a = \log_c b 가 되기에 m = \frac{\log_c b}{\log_c a} 입니다.
  • \log_a b = m 으로 놓으면 a^m = b 입니다. 여기에서 양변에 b (단, b > 0 이며 b \neq 1) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 log_b a^m = \log_b b이므로 m \log_b a = 1 이 되며, 이항하면 m = \frac{1}{\log_b a} 입니다. 따라서 \log_a b = \frac{1}{\log_b a} 입니다.

역사

중세 시대에 활발하게 진행된 탐험으로 인해 항해를 위한 천문학삼각법의 발전이 두드러지게 되었습니다. 당시의 학자들은 삼각함수의 표를 만들기 위해 아주 많은 시간을 쓰게 되었는데, 이러한 번거로운 계산에 들이는 시간을 단축시키기 위해 이들 삼각함수의 곱과 몫을 덧셈과 뺄셈으로 바꾸는 방법을 찾는 것이 중요하게 되었습니다.

스코틀랜드 에딘버러 인근의 머치스톤 (Merchiston) 의 지주 존 네이피어는 삼각함수의 계산을 쉽게 하기 위한 새로운 계산법을 연구하게 되었습니다. 당시에는 어떤 각의 \sin 값을 비율로 생각하지 않고 주어진 반지름으로 정의된 원의 중심각의 두 배인 각과 마주보는 현의 길이로 간주하였습니다.

네이피어는 분수를 피하기 위해 10^7 을 원의 반지름으로 삼고 누승의 밑으로는 (1 - 10^7) 을 사용했습니다.

이제 모든 누승에 10^7 을 곱하면

N = 10^7 (1 - 10^7)^L

이 되는데, 여기에서 L 을 숫자 N네이피어 로그라고 합니다.

로그를 뜻하는 'Logarithm'은 네이피어가 '비'를 뜻하는 그리스어 logos와 '수'를 뜻하는 그리스어 arithmos를 합쳐서 만든 단어인데, '수의 비'라는 의미로 생각할 수 있습니다.

네이피어 로그와 그에 대응하는 진수를 10^7 으로 나누면 밑이 거의 \frac {1}{e} 에 가까운 로그를 얻게 됩니다.

\left ( 1 - \frac {1}{10^7} \right )^{10^7} \approx \lim_{n \to \infty} \left ( 1 - \frac {1}{n} \right )^n = \frac {1}{e}

이기 때문입니다.

네이피어는 자신의 연구 결과를 1614년에 『Mirifici logarithmorum canonis descriptio』 (놀라운 로그의 법칙에 대하여) 라는 제목으로 출판했습니다. 이 저작은 20여년 동안의 계산을 바탕으로 완성되었으며 영역본은 1616년에 출판되었습니다. 이 저작의 출판 이전인 1594년에 네이피어는 티코 브라헤에게 보낸 편지에서 자신의 생각을 전했으며, 브라헤는 이를 요하네스 케플러에게 전하기도 했습니다.

이후 1615년 여름과 1616년에 두 차례에 거쳐 런던 그레스햄 대학의 기하학 교수였던 헨리 브리그가 네이피어를 방문했습니다. 네이피어의 제안으로 이들은 밑을 10 으로 바꾼 로그의 값을 계산하기 시작하여 1 에서부터 1000 까지 밑이 10 인 로그의 값을 완성한 다음에 1617년에 『Logarithmorum chilias prima』라는 제목으로 이를 런던에서 출판했습니다.

로그 계산 예제

아주 간단한 로그 계산 예제를 풀어봅시다.

(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2)

우선 서로 곱해져 있는 괄호 안의 식들을 정리할 필요가 있겠군요.

밑 변환 공식을 사용하면

\log_4 9 = \frac {\log_2 9}{\log_2 4} = \frac {\log_2 9}{2} = \frac {1}{2} \log_2 9 = \log_2 3
\log_9 2 = \frac {\log_3 2}{\log_3 9} = \frac {\log_3 2}{2} = \frac {1}{2} \log_3 2

또한

\log_3 4 = 2 \log_3 2

따라서 원래의 식은

(\log_2 3 + \log_2 3)(2 \log_3 2 + \frac {1}{2} \log_3 2
= (2 \log_2 3)(\frac {5}{2} \log_3 2)
= (2 \frac {\log_3 3}{\log_3 2})(\frac {5}{2} \log_3 2)
= 5 \log_3 3

여기에서 \log_a a = 1 이므로 \log_3 3 = 1

\therefore (\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2) = 5

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