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다항식 (多項式, polynomial) 은 대수학에서 중요하게 다루는 개념입니다. 쉽게 말하자면 여러 항들이 있는 식으로, 다항식이라는 용어가 생기기 이전 시대에는 Compound quantity (복잡한 수량) 라는 용어로 지칭되었습니다.

설명

다항식을 이해하려면 우선 항과 단항식을 알아야 합니다. 항이라고 하는 것은 수나 문자의 곱으로만 이루어진 식을 뜻합니다. 예컨대
-2x
-1 같은 것들이 항입니다.

단항식

이러한 항을 하나만 가지고 있는 식을 단항식이라고 합니다. 예컨대
1/4a
3x^2y 같은 것이 단항식입니다. 위에서 항을 설명할 때 사용한 예시도 단항식이라고 여길 수 있습니다.

다항식

1개 이상의 항을 합한 것을 다항식이라고 합니다. 예컨대
3x^2+7y
-3x+6xy^2 같은 것들이 다항식입니다. 위에서 언급한 단항식도 다항식 중에서 항이 1개인 경우로 간주하기 때문에, 단항식을 들고 다항식이라고 해도 아무도 시비를 걸지 않습니다.

다항식의 연산

다항식의 연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 사용할 수 있습니다. 따라서 우리가 흔히 다루는 수처럼 다뤄주면 됩니다. 처음에는 난감하지만 우리가 37+5같은 식을 쉽게 생각하는 것처럼, 많이 연습하다보면 어느새 다항식의 연산이 익숙해질 것입니다.

덧셈

다항식의 덧셈을 할 때는 우선 다항식의 순서를 정리해야 합니다. 예컨대

-3x+2x^2+42

같은 식은, x를 기준으로 해서

2x^2-3x+42

로 정리할 수 있습니다. 쉽게 말하자면 어떤 문자가 몇 번 곱해졌는지 생각해보고 그 문자를 기준으로 더 많이 곱해진 항을 앞쪽에, 더 적은 항을 뒷쪽에, 그 문자가 아예 없는 항을 마지막에 쓴다고 할 수 있습니다. 참고로 이런 순서를 내림차순이라고 하는데, 반대로 한 문자를 기준으로 적게 곱해진 것부터 많이 곱해진 것의 순서로 배열하는 것은 오름차순이라고 합니다.

이렇게 정리를 한 다음에 더하려고 하는 두 다항식에서 똑같은 문자가 똑같이 곱해진 항들을 골라냅니다. 예컨대
-2x^2+5x^2 같은 항들이 보이면 둘을 골라내서 계산하라는 뜻입니다.
그런 항이 없으면 그냥 그대로 두면 됩니다. 이렇게 해서 김대기처럼 적절한 계산을 하여 그 답을 쓰면 다항식의 덧셈이라는 기술은 이제 당신의 것입니다. 당신 마음대로 다항식의 덧셈을 할 수 있는 겁니다.

예시

예시를 하나 보여드리겠습니다. 일단 식은 아래와 같습니다.

(3x^3+4x^2+10) + (2x^2-3x-7)

편리하게도 식이 x에 대해 내림차순으로 정리되어 있군요. 이 식을 적은 사람이 참으로 배려심이 깊다고 할 수 있겠네요.
그럼 이제 x가 몇 번 곱해져있나 확인하고 각 항들을 따로 골라내도록 하겠습니다.

3번 곱해짐 : 3x^3
2번 곱해짐 : +4x^2, +2x^2
1번 곱해짐 : -3x
아예 곱해진 게 없는 불쌍한 항들 : +10, -7

이때, x가 3번 곱해진 3x^3 와 1번 곱해진 -3x 는 똑같은 회수만큼 곱해진 것이 없으므로 그냥 적으면 됩니다. 2번 곱해진 +4x^2+2x^2 를 더하면 +6x^2 가 되고, 아예 곱해지지 않은 불쌍한 항들을 더하면 +3이 되는군요. 이것을 순서대로 적으면 아래와 같습니다.

3x^3+6x^2-3x+3

뺄셈

다항식의 뺄셈 역시 덧셈과 같은 원리로 식을 정리한 다음에 적절하게 계산하면 됩니다.

예시

예컨대

(3x^3+4x^2+10) - (2x^2-3x-7)

와 같은 연산을 한다고 생각해봅시다.

괄호를 풀면

3x^3+4x^2+10 - 2x^2+3x+7

이 됩니다. 동류항끼리 계산하면

3x^3 + 2x^2 + 3x + 17

이 됩니다.

곱셈

다항식의 곱셈은 지수 법칙분배 법칙을 활용하여 계산하면 됩니다. 크게 보자면 단항식과 다항식의 곱, 다항식과 다항식의 곱이라는 두 가지 유형이 있는데, 이러한 곱셈을 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다 라고 표현합니다.

예시

예컨대

3x(5x^3 + 3x^2 + 2)

라는 식을 생각해봅시다. 이 식은 단항식 3x와 다항식 (5x^3 + 3x^2 + 2)의 곱입니다. 이것을 전개하면

3x \times 5x^3 + 3x \times 3x^2 + 3x \times 2

가 되며, 각각의 곱셈을 하면

15x^4 + 9x^3 + 6x

이라는 다항식을 얻을 수 있습니다.

이제 다항식과 다항식의 곱 형태로 되어 있는 것을 생각해봅시다.

(x^2 + 2)(3x^2 - 6x + 7)

이 식은 다항식 (x^2 + 2)와 다항식 (3x^2 - 6x + 7)의 곱입니다. 분배 법칙을 이용하여 전개하면 아래와 같이 됩니다.

x^2(3x^2 - 6x + 7) + 2(3x^2 - 6x + 7)

이것을 다시 정리하면

3x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x^2 - 12x + 14

가 되며, 이것을 다시 동류항끼리 묶어서 계산하면 아래와 같은 다항식을 얻을 수 있습니다.

3x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 14

나눗셈

다항식의 나눗셈은 크게 다항식을 단항식으로 나누는 경우와 다항식을 다항식으로 나누는 경우로 구분하여 생각할 수 있습니다.

다항식 나누기 단항식

다항식을 단항식으로 나누는 경우, 아래와 같이 일반적인 경우를 기억하면 쉽습니다.

(X + Y) \div Z = (X + Y) \times \frac {1}{Z} = \frac {X}{Z} + \frac {Y}{Z}

여기에서 X, Y, Z는 단항식이며, Z \ne 0 입니다.

예시

예컨대

(3x^3 + 9x^2 -10x) \div 3x

와 같은 식을 생각해봅시다.

이 식은 아래와 같이 변형할 수 있습니다.

\frac {3x^3}{3x} + \frac {9x^2}{3x} - \frac {10x}{3x}

이를 정리하면

x^2 + 3x - \frac {10}{3}

이 됩니다.

다항식 나누기 다항식

어떤 다항식 A를 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q라 하고 나머지를 R이라 하면 아래의 식이 성립합니다.

A = BQ + R

이때 나머지 R은 몫 Q보다 차수가 낮으며, R = 0인 경우에는 AB로 나누어 떨어진다 라는 표현을 사용합니다.

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