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“우리에게 주어진 과업을 완수하려면 '모든 수학 문제는 해결 가능하다'라는 신념을 가져야 합니다. 지금 이 순간에도 우리들의 마음은 외치고 있습니다. 여기 문제가 있으니 답을 찾으십시오! 우리는 순수한 사고를 통해 해답을 찾을 수 있습니다. 우리는 결코 무지하지 않으며 자연과학 역시 무지함과는 거리가 멉니다. 그러므로 '무지함'이라는 단어는 새로운 단어로 대치되어야 합니다.

우리는 알아야만 합니다. 우리는 알게 될 것입니다. (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.)”

다비트 힐베르트, 1930년 8월 쾨니히스베르크 연설문의 마지막 부분
David Hilbert


David Hilbert
1862.1.23. - 1943.2.14.

개요

다비트 힐베르트 (David Hilbert) 는 19세기 말에서 20세기 중반까지 활동한 독일의 수학자입니다. 그는 수학의 황제 (數學의 皇帝) 라는 별명을 가지게 될 정도로 수학의 여러 분야들에서 다양한 업적들을 남겼으며, 대표적인 업적을 꼽자면 힐베르트 공간, 힐베르트 공리계 등이 있습니다.

1900년에 힐베르트는 프랑스 파리에서 열린 세계 수학자 대회에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제 23가지를 선정하여 발표했으며, 이는 힐베르트 문제들 (Hilbert's problems) 이라고 불리게 되었습니다. 힐베르트 문제들은 당대 수학계의 발전을 위해 기획된 것이였으며 여러 가지 문제들을 푸는 과정에서 수학적인 발전이 있게 되기 때문에 사실은 수학의 발전을 도모하기 위한 것이었다는 평가도 있습니다.

힐베르트는 알베르트 아인슈타인일반 상대성 이론을 수학적으로 정의하는 데에 핵심적인 역할을 하기도 했으며 기하학을 공리화하기도 했습니다. 그는 당대 수학계의 정신적인 지도자였으며, 현대 수학계의 흐름에도 그의 영향이 계속 존재하고 있습니다. 특히 '모든 수학 문제는 해결 가능하다'라는 그의 신념은 거의 모든 수학자들이 어려운 수학 난제들에 계속 도전하면서 생을 바치는 데에 큰 힘을 주는 말이 되고 있습니다. 비록 이후에 힐베르트가 바란 것처럼 수학 체계가 완성될 수 없다는 게 밝혀지고 심지어 풀 수 없는 문제가 반드시 존재할 수밖에 없음이 증명되기까지 했음에도 힐베르트의 이 신념은 여전히 수학자들의 신념으로 남아 있습니다.

힐베르트는 수학을 더욱 완전하게 만들기 위해 수학의 제영역에 대한 연구를 평생 동안 하였으며, 궁극적으로 수학 공리계의 무모순성을 입증할 수 있을 것이라고 생각했습니다. 힐베르트는 우선 연역 체계를 완벽하게 형식화하는 작업을 시도했습니다. 즉, 어떤 연역 체계 내부에 등장하는 모든 표현들에 있어 그것들이 지닌 자체적 의미를 모두 없애는 것입니다. 이렇게 내부의 모든 표현이 의미 없는 기호로 간주될 수 있으면 그것들을 결합하고 조작하는 방법은 명확하게 진술된 일련의 규칙들을 따르게 됩니다. 이런 것의 목적은 바로 숨겨진 것이 전혀 없는 상태에서 우리가 명확하게 부여한 의미들만을 담지하는 연산 체계를 구성하는 일입니다.

이 방식으로 연역적 과정에서 공인되지 않은 추론의 원리들이 전적으로 배제되어 형식적 연역 체계에 따라 논리적 관계들을 분석할 수 있게 됩니다. 즉, 무의미한 기호들의 다양한 형태가 가진 구조적 양식 (기호들이 결합되는 방식, 연결되는 순서 등의 구조적 패턴) 을 쉽게 볼 수 있는 것입니다. 이렇게 형식화된 수학의 무의미한 기호들은 아무것도 말하지 않습니다. 그것은 단지 일정한 구조를 가지고 있는 추상적 패턴이 되는 것입니다. 그렇지만 우리가 그러한 체계의 배열을 기술할 수 있고 그것들 사이의 다양한 관계들을 진술할 수 있음은 자명한 일입니다.

그 자체로는 무의미한 형식적 수학 체계에 관해 언급하는 유의미한 진술 그 자체는 무의미한 수학적 체계에 속하지 않습니다. 이러한 진술들을 상위 수학 (Meta-mathematics) 이라는 영역으로 생각할 수 있습니다. 상위 수학의 진술들은 형식화된 수학적 체계―연산 체계에 등장하는 기호들에 대해 언급하는 진술들이 되며, 이것을 통해 형식문을 만들 수 있고 또 형식문들을 기술하는 언어가 되는 것입니다. 궁극적으로는 무한한 기호적 체계보다 상위에 있는 유한한 진술들의 체계를 통해서 정합성을 증명하는 것이 힐베르트의 목표였습니다.

힐베르트는 모든 수학적 연산이 형식문들이 지닌 어떤 기하학적 패턴으로 확인되며, 그 기하학적 패턴들은 상호 간의 유한한 구조적 관계를 유지하고 있으리라는 생각을 했습니다. 즉, 어떤 연산 체계 내부의 표현들이 지닌 구조적 성질들을 모두 조사함으로써 형식적으로 모순되는 두 가지 이상의 형식문들이 그 연산 체계의 공리와는 무관한―그 공리들로부터 연역될 수 없는―것임을 밝히려고 했던 것입니다. 이렇게 형식문들의 무한한 구조적 성질이나 형식문들에 적용되는 무한한 연산을 언급하지 않는 절차만으로 정합성을 증명하려는 것을 유한한 단계를 가진 절차라고 하며 이 조건을 만족시키는 정합성 증명을 절대적 증명이라고 합니다.

그러나 수학의 무모순성이라는 문제에 관심을 가졌던 쿠르트 프리드리히 괴델이 발견한 불완전성 정리에 의해 어떤 공리계에서 진위를 판정할 수 없는 명제가 반드시 존재하기에 수학은 자신의 무모순성을 증명할 수 없다는 사실이 밝혀지면서 힐베르트의 시도는 실패로 돌아가게 되었습니다.

그 외

개인적인 성품

힐베르트의 개인적인 성품에 대해서는 여러 가지 이야기들이 존재합니다. 춤을 잘 추는 사교적인 사람이기도 했으며 여성 편력이 심하다는 평가도 있었습니다. 그는 경직된 분위기나 구시대적인 전통과 사회적 금기 등을 매우 싫어하는 자유주의자였으며, 대학 교수임에도 시내의 레스토랑에서 다른 젊은 강사와 함께 당구를 치기도 했습니다. 또한 제1차 세계대전 중에 수학자 아말리 에미 뇌터가 여자라는 이유로 괴팅겐 대학의 강사 임용에서 탈락하자 "신임 강사를 채용하는 데에 성(性)이 문제가 된다니, 이 무슨 해괴한 규칙인가? 교수 회의실이 무슨 목욕탕이라도 된다는 말인가?"라는 말과 함께 자신의 이름으로 강좌를 개설하여 뇌터에게 강의를 맡기기도 했습니다.

그러나 힐베르트는 두뇌 회전이 느린 사람들에게는 자비롭지 못했으며, 세상에 있는 대부분의 사람을 바보로 간주했습니다. 흥미롭게도 그의 유일한 아들인 프란츠 힐베르트는 정신적인 결함을 가지고 있었는데, 학습 능력이 심각하게 떨어졌으며 과대망상증이 있었습니다. 결국 힐베르트는 아들 프란츠를 정신병원에 수용시키면서 "지금부터 나는 아들이 없었던 것으로 생각하겠다"는 선언을 하였습니다.

일화

힐베르트는 학생들과 동료들에게 가장 존경받는 수학자였기 때문에 그에 관한 재미있는 일화들이 전해지고 있습니다. 대표적으로 리만 가설과 관련된 일화가 있는데, 이는 콘스탄스 리드 (Constance Reid) 가 쓴 힐베르트 전기에도 수록되어 있습니다. 이 일화의 내용은 다음과 같습니다.

어느 날, 힐베르트의 제자 중 한 명이 자신이 리만 가설을 증명했다고 주장하며 힐베르트에게 논문을 제출했습니다. 힐베르트는 그 논문을 꼼꼼하게 살펴보면서 그 논리의 심오함에 대해 감탄했으나 논문 중간에 치명적인 오류가 있음을 발견하게 되었습니다. 그러나 그 오류는 아주 미묘한 것이었기에 힐베르트 자신도 수정할 수 없었습니다. 그리고 1년 후에 그 학생은 병 때문에 사망했습니다. 그러자 힐베르트는 그 학생의 부모를 찾아가서 장례식에서 자신이 조문사를 낭독할 수 있게 해달라고 부탁했으며 학생의 부모는 허락해주었습니다. 장례식 당일, 깊은 슬픔에 빠져 있는 고인의 친지들과 동료 학생들이 지켜보는 가운데 힐베르트는 조문사를 읽기 시작했습니다.

"그토록 뛰어난 인재가 자신의 연구를 완성하지 못하고 젊디젊은 나이에 우리의 곁을 떠나간 것은 정말로 비극이 아닐 수 없습니다. 고인은 생전에 리만 가설을 증명하는 논문을 작성했습니다. 거기에는 약간의 오류가 있었으나, 약간의 수정을 거친다면 증명이 완성될 가능성은 여전히 남아 있습니다."

힐베르트가 이 부분까지 읽었을 때는 어느새 장지에 비가 내리기 시작하여 모든 조문객들이 더욱 숙연해졌습니다. 이때 힐베르트는 갑자기 격앙된 목소리로 그 다음 구절을 읽기 시작했습니다.

"자, 그럼 지금부터 복소함수에 대해 생각해봅시다……."

그는 이렇게 장례식 도중에 복소함수에 대한 강의를 시작해버렸습니다.

업적

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