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공리 (公理, axiom) 는 어떠한 이론 체계에서 자명하여 참이라고 인정하는 기초적 명제입니다.

개요

공리 (公理, axiom) 는 어떠한 이론 체계에서 자명하여 참이라고 인정하는 기초적 명제입니다. 우리가 어떠한 지식을 입증하기 위해서는 그것을 뒷받침하는 근거가 필요합니다. 그러나 그렇게 제시된 근거 자체를 입증해줄 근거가 또 필요하게 되고 이런 일이 계속 반복되다보면 우리가 설명하기 곤란할 정도인 지점까지 도달하게 됩니다. 그래서 어떤 이론을 만들 때엔 누가 생각하더라도 모두 사실이라고 인정할 법한 명제들을 근거 없이 무조건적으로 참이라고 가정하게 되는 것입니다. 따라서 공리로 정해진 내용은 그 공리에 입각해서 만들어진 이론 내에서는 항상 사실인 것이 되며 절대 반박할 수 없습니다.

원리적으로는 수없이 다양한 공리들을 이용하여 온갖 이론들을 다 만들 수 있으나 그다지 합리적이지 않은 공리로 이론을 만들게 되면 다른 사람들의 동의를 얻기 어렵고 혼자만의 망상으로 전락할 수 있습니다. 그렇기에 '어떤 공리를 선정해서 이론을 만들 것인가' 하는 문제에서는 논리적으로 자명한 해법이 없으며 임의적으로 공리를 고를 수밖에 없습니다. 여기에서 가장 좋은 선택이라고 여겨지는 것이 바로 가장 합리적인 공리를 선택해서 이론 체계를 만드는 일입니다.

공리를 변경할 수 있을까?

공리에 대한 설명을 보다 보면 공리라는 걸 변경할 수 있는가에 대한 의문이 생길 것이며, 만약 안된다고 했을 때 억지로 바꿔버리면 무슨 일이 생기게 되는지 궁금해할 수도 있을 것입니다. 여기에 대해 설명하자면, 우선 공리라는 것은 애초에 자명하여 참이라고 인정하는 것이기 때문에 마음대로 바꿀 수 없는 것입니다. 이것을 억지로 바꿔버리면 그 공리에 의존하면서 만들어진 이론은 붕괴되며, 변화된 공리들에 따라 새로운 관계가 형성되어 전체적으로는 완전히 새로운 이론이 탄생하게 됩니다.

이러한 사례로는 대표적으로 유클리드 기하학이 있습니다. 유클리드 기하학에서는 아래의 공리 다섯 가지를 기초로 하여 모든 증명들이 유도됩니다.

  1. 모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있습니다.
  2. 유한한 직선이 있으면 그것을 얼마든지 길게 늘일 수 있습니다.
  3. 모든 점에서 모든 거리를 반지름으로 하여 원을 그릴 수 있습니다.
  4. 직각은 모두 서로 같습니다.
  5. 두 개의 직선이 있으며 다른 한 직선이 이 두 직선과 만날 때, 어느 한 쪽의 두 내각을 더한 것이 두 개의 직각보다 작으면 두 직선을 얼마든지 길게 늘였을 때 두 직선은 항상 내각을 더한 것이 두 직각보다 작은 쪽에서 만납니다.

이 중에서 1번 - 4번 공리까지는 모두 서로 관련되어 있기 때문에 별 문제가 없었지만 5번 공리 (평행선 공리) 는 다른 공리들과는 완전히 무관한 것처럼 보였습니다. 그래서 수학자들은 5번 공리를 따르지 않는 새로운 기하학을 생각해보게 되었습니다. 그 결과 비-유클리드 기하학이라는 새로운 수학 분야가 탄생하게 되었습니다. 비-유클리드 기하학은 유클리드 기하학과는 완전히 다른 모습을 하고 있으며 휘어진 공간 같은 것도 다룰 수 있게 되었으며, 이 점에서 공리를 바꾸게 된 것이 완전히 다른 이론 체계를 형성하게 한다는 사실을 깨달을 수 있습니다.

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