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“이걸 왜 외워야 하는 것인지 모르겠다!!!”

당신

곱셈 공식 (곱셈公式) 은 다항식의 계산을 쉽게 수행하는 데에 도움이 되는 공식들입니다.

개요 편집

곱셈 공식은 다항식의 계산을 쉽게 하는 데에 도움이 되는 공식들로, 주로 중학교 교과과정과 고등학교 교과과정에서 다룹니다. 곱셈 공식은 이해보다는 암기가 중요한 부분이기 때문에 상당한 스트레스를 유발합니다. 그렇지만 많이 연습하다보면 익숙해지고, 부분적으로는 응용을 통해서 즉석에서 유도할 수 있기 때문에 어느 정도의 숙련을 거치면 별 무리가 없을 것입니다.

그 외 편집

곱셈 공식의 과정을 거꾸로 하면 인수 분해 공식이 되는데, 이런 경우에는 쉽게 찾기가 어렵기에 곱셈 공식의 암기와 병행하여 숙련할 필요가 있습니다.

공식 중에서 \,(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2파스칼 삼각형과 관련이 있습니다.

목록 편집

2차식 편집

  • \,m(a\pm b) = ma\pm mb
  • \,(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
  • \,(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2
  • \,(a+b)(a-b) = a^2-b^2
  • \,(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab
  • \,(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd
  • \,(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

3차식 편집

  • \,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c) = x^3\pm(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\pm abc
  • \,(a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3
  • \,(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) = a^3\pm b^3
  • \,(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc
  • \, \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} = a^3+b^3+c^3-3abc

4차식 편집

  • \,(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4

곱셈 공식의 변형 편집

곱셈 공식의 변형은 위의 곱셈 공식들을 변형한 공식들로, 이 공식들을 사용하면 특정한 모양의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.

2차식 편집

  • \,a^2+b^2 = (a\pm b)^2\mp 2ab
  • \,(a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab
  • \, x^2 \pm {1 \over x^2} = \left( x \pm {1 \over x} \right) ^2 \mp 2
  • \, \left( x + {1 \over x} \right) ^2 - \left( x - {1 \over x} \right) ^2 = 4
  • \, a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
  • \, a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc \pm ca = {1 \over 2} \left\{ (a\pm b)^2 + (b\pm c)^2 + (c\pm a)^2 \right\}

3차식 편집

  • \, a^3\pm b^3 = (a\pm b)^3\mp 3ab(a\pm b)
  • \, x^3 \pm {1 \over x^3} = \left( x\pm {1 \over x} \right) ^3 \mp 3 \left( x\pm {1 \over x} \right)
  • \, a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
※ 단, 여기에서 \, a+b+c = 0 이면 \, a^3+b^3+c^3 = 3abc 입니다.

4차식 편집

  • \,(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4
  • \, (x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1
  • \, a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2
  • \, a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2 \left\{ (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) \right\}

고차식 편집

  • \, a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)
  • \, a^6+b^6 = (a^3+b^3)^2-2a^3b^3
  • \, a^7+b^7 = (a^3+b^3)(a^4+b^4)-a^3b^3(a+b)

이걸 왜 외워야 할까 편집

곱셈 공식을 대체 왜 외워야 하는 것인가에 대해 의문을 가지는 학생들이 흔히 있습니다. 사실 이걸 외우지 않아도 하나씩 전개하고 삽질하다보면 똑같은 결과를 얻을 수 있습니다. 그러나 그건 굉장히 귀찮은 일이기 때문에 효율을 위해서 곱셈 공식이라고 정리된 공식을 외워서 써먹는 것입니다. 이렇게 사소한 것들에서 시간을 아껴놓아야 더 어렵고 아름다운 수학 개념들을 쉽게 다룰 수 있기 때문에 괴롭더라도 열심히 외워놓으면 나중에 인생에 도움이 됩니다.

사실 이 문서에서 소개하는 곱셈 공식 중 대부분은 그다지 쓸모가 있지 않은 것들이 대부분입니다. 3차가 넘어가는 것까지 외울 필요는 전혀 없습니다. 기본적으로 학교에서 가르치는 수학 교과서에 적혀 있는 것만 외워놓으면 나머지는 유도하거나 응용하면서 쓸 수 있기 때문에 이 문서를 보며 뇌를 학대하지 마시고 교과서에 나온 공식 정도만 외우십시오. 수학의 정석 같은 경우에도 쓸모 없는 것까지 다 가르쳐서 문제라는 점을 보면 정보가 많다고 해서 다 도움이 되는 것은 아닙니다.

도보기 편집

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