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계승

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계승 (階乘) 또는 팩토리얼 (Factorial) 은 1 부터 n 까지의 자연수를 연속적으로 곱한 값을 뜻합니다.

개요 Edit

계승 (階乘, factorial)은 1 부터 n 까지의 자연수를 연속적으로 곱한 값을 뜻하며, 표기에는 n! 과 같이 느낌표를 사용합니다. 수식 중간에 느낌표가 나오는 경우에는 모두 계승을 의미하는데, 상식적으로 생각해보았을 때 수식을 쓰면서 막 감탄을 할 이유는 없기 때문에 이로 인해 생기는 혼동은 적은 편입니다.

예시
3! = 1 \times 2 \times 3 = 6
4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24
5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120

스털링 근사 Edit

계승의 값은 빠른 속도로 커지기 때문에 70! 정도만 되어도 10^{100}구골보다 커집니다. 따라서 큰 계승의 값을 쉽게 구하기 위한 방법에 대한 필요성이 생겼고, 스털링 근사라는 방법이 발견되었습니다. 이 방법은 스털링 공식이라도고 하며, 1730년에 스코틀랜드의 수학자 제임스 스털링에 의해 발표되었습니다.

스털링 근사를 수식으로 나타내면 아래와 같습니다.

n! \approx (2\pi)^\frac {1}{2} e^{-n} n^{n+\frac {1}{2}}

n 이 아주 큰 경우에 이 수식은 아래와 같이 더욱 간단한 근사치를 만족합니다.

\ln (n!) \approx n \ln (n) - n

위의 근사치는

n! \approx n^n e^{-n}

으로 쓸 수도 있습니다.

도보기 Edit

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